1908年，德国数学家恩斯特·策梅洛［216］（1871—1953）还在沿着最初由欧几里得在公元前 300年左右奠定的理论道路前进。欧几里得系统阐述了几个未经证实、却历来被认为是不言自明的关于点、线的公理性假设，并以这些公理为基础构建了欧几里得几何学。策梅洛早在1900年就独立发现了罗素的悖论，他提出了一种建立以相应公理为基础的集合理论的方法。在他的理论中，通过仔细选择原则，可以消除诸如“所有集合的集合”的矛盾理论，这样，罗素的悖论就会被绕了过去。1922年以色列数学家亚伯拉罕·弗兰克尔（1891—1965）进一步完善了策梅洛的理论，最终形成了策梅洛—弗兰克尔［217］集合理论，这一理论在1925年又被约翰·冯·诺依曼（John Von Neumann）作了比较重大的修改和补充。至此，集合理论似乎已经臻于完美（其一致性已经得到很好的证明），那些烦人的怀疑和批评逐渐平息并完全销声匿迹。然而，有一条公理［218］（即选择公理），正如欧几里得几何中著名的“第五公理”给许多数学家心中留下了抺不去的伤痛，它也引起了数学家的不安。简单地说，选择公理讲的是：如果X是非空集合的集合，那么我们可以从X中的每个集合中选择一个元素形成一个新的集合 Y。你可以很轻松地证明，只要集合X不是无限的，那么这一表达就是真的。例如，如果我们有100个盒子，每一个盒子都至少有一个小球，那么我们可以非常简单地从所有盒子中都取出一个小球，这样就形成了一个新的集合 Y，这个集合中包含有 100个小球。在这种情况下，并不需要一条特定的公理，我们就可以证明选择是可能的。并且只要能精确地说明我们是如何作出选择的，甚至在集合X是无限时，这一表达依然是正确的。想象一下，有一个无限的非空自然数的集合。这集合的成员可能是诸如｛2，6，7｝，｛1，0｝，｛346，5，11，1257｝，｛384到10 457之间的所有自然数｝这样的自然数组成的集合。在所有这些自然数集合中，总会有一个最小的数字。那么，可以用以下这种方式唯一地描述选择：从每一个集合中，挑选出最小的那个元素。在上述这个例子中，选择公理的需要被巧妙地回避了。而在那些我们无法确定选择的例子里，无限集合带来的问题就会凸现出来。此时，选择的过程将永远不会终止，并且从集合X中的每一个元素（此时的元素代表着集合）里选择一个元素组成一个新的集合，这个集合是否真实存在就变成信仰问题了。
从一开始，选择公理就在数学家中有巨大的争议。公理断言了特定数学对象（例如选择）的存在性，而没有提供具体的、确凿的例子，不过很显然，这一点正是该公理最为人们所诟病之处，特别是那些继承了经院派构成主义［constructivism，它与直觉主义（intuitionism）相关］思想的人。构成主义论者坚持认为任何存在的事物同样应当是可明确构成的。其他一些数学家也同样倾向于回避选择公理，并且只使用策梅洛—弗兰克尔集合理论中的其他几条公理。
由于意识到了选择公理的缺陷，数学家们开始怀疑是否可以用其他公理来证明某条公理的正确性，或者用别的公理来证伪。欧几里得第五公理的历史实际上在不断重复。最终，直到20世纪30年代后期，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906—1978）对这一问题给出了部分解答。哥德尔被认为是人类历史上最有影响力的逻辑学家之一，他证明了选择公理，以及集合理论创始人乔治·康托尔提出的另外一条著名的猜想——连续统假设（continuum hypothesis）［219］，这两条假设与策梅洛—弗兰克尔集合理论的其他公理相一致。也就是说，这两条假设中的任意一条都不能用其他标准的集合理论的公理来证伪。在 1963年，美国数学家保罗·科恩（Paul Cohen，1934—2007，就在本书写作期间，他不幸离我们而去，这让我感到极为悲痛）给出了建立完整的、自主的选择公理和连续统假设［220］的其他证明。换句话说，选择公理既不能被集合理论的其他公理证明，也不能被它们证伪。同样，连续统假设也是既不能被那些公理集证明，同时又无法被它们所否认，即使这一公理集包括了选择公理也是如此。
逻辑学的这些发展给哲学研究带来了戏剧性的结果。正如19世纪的非欧几何一样，并不仅仅只有一种确定的集合理论，而是至少有 4种！我们可以对无限的集合作出不同的假设，最后以相互排斥的集合理论而告终。例如，可以假设选择公理和连续统假设都是有效的，这样便可以得出一套版本；或者假设它们都是不正确的，这样又会得出另外一套完全不同的理论。同样，可以假设两条公理中的某一条是正确的，而另外一条是错误的，这样又会产生两种不同的集合理论。
这是不是有点像非欧几何危机的再现？事实上，甚至比那还要糟糕：集合理论的基本作用可能是整个数学的基础！对于柏拉图主义者而言，这个问题会变得更加尖锐。如果说一个人的确可以通过选择不同的公理集而形成许多套集合理论，那这不就是说数学只不过是人类的发明？形式主义论者看来几乎胜利了。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
