逻辑和数学

传统观念认为，逻辑处理的是概念与命题之间的关系问题，以及从这些关系中提炼总结出正确推论的过程^［201］。举一个简单的例子，有这样一个推论：每个X都是Y，一些Z是X；因此一些Z是Y。此时，只要前提是正确的，这一推理就是自动成立的，自动地确保结论的真实有效性。例如，“每个传记作者都是作家，有些政治家是传记作者，因此，有些政治家是作家”，这一推理过程得出的结论就是正确的。在另一方面，推论“每个X都是Y，一些Z是Y；那么有些Z是X却不一定正确，我们可以举出一些反例，这些例子前提是正确的，但结论却是错误的。比如，“所有人都是哺乳动物，一些有角的动物是哺乳动物，因此，一些有角的动物是人”，这个推论得出的结论是很荒谬的。

只要遵循一些规律，论证的正确性就与陈述的主题无关。例如：

这位百万富翁要么是被他的男管家谋杀了，要么是被他女儿杀害了；

他的女儿没有杀他；

因此，他的男管家谋杀了他。

上述的例子得出了一个正确的推论。这一论证合理与否与我们对男管家的态度无关，也与百万富翁和他女儿的关系无关。在这里，这个推论的正确性是由命题的一般形式“如果不是p就是q，既然不是q，那么一定是p”的逻辑正确性来保证的。

你也许注意到了，在前面两个例子中，X、Y和Z所扮演的角色与数学公式中的变量非常相似，它们标明了插入语句的位置，在代数式中变量的值就是以同样的方式插入其中的。同样，推论的一般形式“如果不是p就是q，既然不是q，那么一定是p”的真实性使人联想起欧几里得几何学中公理的不证自明。尽管如此，关于逻辑的思考持续了近两千年之后，数学家们才开始认真关注这种推理。

第一位试图把逻辑和数学这两门学科结合成为一门“普适的数学”的人，是杰出的德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Willelm Leibniz，1646—1716），他同时也是著名的理性主义哲学家。莱布尼茨最初学习的是法律，他利用自己的业余时间研究数学、物理和哲学，他一生中最为人们所称道的是，他几乎与牛顿同时独立地系统阐述了微积分的基础理论，而关于究竟是谁第一个发现了微积分，随后还引发了一系列激烈的争吵。在一篇据说是他16岁时就已经开始构思的文章里，莱布尼茨设想了一种通用的推理语言，即万能算学（characteristica universalis）。莱布尼茨把它视为一种终极的思考工具，他想用符号代表简单的观念和思想，而用这些基本符号的组合代表更加复杂的思想观点。莱布尼茨希望仅仅通过代数运算，在所有的学科中都能计算出任何陈述的真实性。他预言，利用适当的逻辑演算，哲学中的争论将可以通过计算得到解决。不幸的是，莱布尼茨在他所开创的逻辑代数这条路上实际上并没有走出很远。除了这条总的“符号思考”的原则外，莱布尼茨还有两个主要的贡献，一个是明确提出什么时候应当把两件事平等对待，另一个是指出同一种陈述不可能既是正确的，又是错误的，在某种程度上这似乎是显而易见的。因此，尽管莱布尼茨的思想充满智慧，但它们几乎完全被忽视了。

对逻辑的研究在19世纪中叶又重新活跃了起来，并且似乎是一夜之间涌现出了众多关于逻辑的重要著作。最早的著作来自奥古斯塔·德摩根（Augustus De Morgan，1806—1871），随后有乔治·布尔（George Boole，1815—1864）、哥特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848—1905）和朱塞佩·佩亚诺（Giuseppe Peano，1858—1932）等人的大作。

在这些人当中，不能不重点提一下德摩根^［202］，他是一位成果颇丰的数学家，其著述多得让人有点难以置信，他一生共发表了数千篇文章，还出版了不少专题著作，主题涵盖了数学、数学史和哲学的诸多方面。在他那些不同寻常的作品中，有近一千年来满月的历书，还有各种各样稀奇古怪的数学问题。曾经有一个人询问他的年龄时，他回答说：“到x²年，我就x岁。”你可以仔细想想1806和1871之间（德摩根出生和去世的年份）的数，找出那个平方数，得出的结论将会是43。德摩根最富创见性的贡献可能还是他在逻辑学领域中的研究。他极大地拓展了亚里士多德三段论的范畴，同时又详细分析了用代数方式进行推理的过程。本质上讲，德摩根是一位代数学家，这使他更侧重于以代数的方法研究逻辑，但尤为可贵的是，他同时又用逻辑学家的眼光来分析代数。在他的一篇文章中，他描写了从不同视角分析问题时带来的全新认识：“对代数来说，我们必须寻找最习惯的逻辑运用方式……代数学家实际上一直生活在更高的、三段论（推理）构成的环境中，以及由此构成的永不停息的各种关系组合之中，而以前人们并不承认有这种环境存在。”

德摩根在逻辑学上最重要的成果是判定的量化（quantification of the predicate），对那些经典时期的逻辑学家来说，这在某种程度上是一个略显夸张的提法。虽然亚里士多德学派已经正确认识到了，从诸如“一些Z是X和“一些Z是Y”这类前提出发，这些X和这些Y关系并不是绝对的。举例来说，对于“一些人吃面包”和“一些人吃苹果”这两个前提，关于这些吃面包和吃苹果这两类人之间的关系得不出任何必然的结论。然而直到19世纪，逻辑学家还认为，不论这些X和Y之间必然遵从的关系是怎样的，那么中项（如上所述的 Z）一定在一个前提中是“普适”的，也就是说，这一段一定包括“所有Z”。德摩根则证明了这种假设是错误的。在他1847年出版的《形式逻辑》（Formal Logic）一书中，德摩根指出诸如“大多数Z是X”和“大多数Z是Y”这类前提，必然遵循“一些X是Y”。例如，从“大多数人吃面包”和“大多数人吃苹果”这两个前提中，必然得出“一些人既吃面包又吃苹果”。实际上，德摩根走得更远，他甚至用精确的量化形式来表达他提出 Z的的三段论。想象一下，Z的总数是z，同样也是X的Z的数量是x，同样也是Y的Z的数量是y。在上面所举的例子中，如果总人数是100（z＝100），其中有57人吃面包（x＝57），并且有69人吃苹果（y＝69）。这时，德摩根注意到，一定至少有（x+y-z）的 X 同样也是 Y，也就是说，至少有 26 人（57+69-100=26）既吃苹果也吃面包。

不幸的是，这种十分巧妙的量化预测方法却反而使德摩根陷入了一系列令人不快的非议和争吵中。苏格兰哲学家威廉·哈密顿（William Hamilton，1788—1856）——请不要与爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）混为一谈了——就公开指责德摩根剽窃了他的成果，因为哈密顿在德摩根发表其文章几年前就已经出版了相关问题的专题著作，其中的某些思想与德摩根非常相似，只不过没有德摩根那么精确。哈密顿对待数学和数学家的态度一贯如此，因此他的指责不足为奇。哈密顿曾经说过：“过度地研究数学绝对会使哲学和人生必需的思维活力丧失。”他在给朋友的许多信中，写下了一系列言辞尖酸刻薄的指责，如果说这些话有什么正面效应的话，那就是，在不知不觉间促使代数学家乔治·布尔转而开始研究逻辑。布尔在他后来的《逻辑的数学分析》（The Mathematical Analysis of Logic）^［203］一书中详细描述了这一转折过程：

在那年的春天，我逐渐开始关注哈密顿爵士与德摩根教授之间的争论。我被他们争论的问题所吸引，并且开始有兴趣重拾一些几乎已忘掉的线索来解答以前的疑问。对我而言，尽管逻辑与量化思想有关，但是它还有一种更深的关系系统。如果通过数学这种媒介，从外部把逻辑本身与人类对时间和空间的直觉联系起来是合理的话，那么认为逻辑是从内部建立在另外一种秩序事实基础之上也是合理的，而这些事实在思维构建过程中有它们的固有位置。

这段十分谦逊的文字描写了在符号逻辑中开始对后世有巨大影响力的思想。