人口分析技术

4.3　人口分析技术

在实际中，我们估计未来人口变化有许多简便实用的方法和若干基本的数学技巧。

4.3.1　线性插值

给出时刻0的普查数据P（0）和时刻n的P（n），利用线性插值，时刻t的估计人口，0≤t≤n，表示为：

利用此公式的人口学家假设人口是线性增长。假设从t＝0到t＝n线性增长模式继续适用，这些等式也可以用于线性外推（即t＞n）以估计在最后一次普查后的人口数。除非线性增长的假设认为是确实成立的，否则，线性外推不应当用于大的t值（如t＞2n）。

4.3.2　多项式插值

给出n＋1个历史数据值P（0），P（1），P（2），…，P（n），一个将再生所有这些给定值的n次多项式能够拟合所有这些点。则这样的多项式可以用于估计这些给定的数据点之间或之外的P（t）的值。用此方法要慎重，特别对于大的n值（较高次多项式）和外推的估计。一个n＞2次的多项式可能是非常不可靠的，所以，外推值和有些时候插值，可能变成不合理的。因此，在人口学中，这种方法不通行。

4.3.3　几何模型

前面已经提到过人口增长模型的形式为

这里r_α是年实质率，或

这里r_i是连续瞬间增长率。

作为作用于一个稳定人口的增长效力r_i的值的推导受到广泛的运用。然而，对于普查中间或普查后即刻估计，增长率的推导可以更为简单。例如，给出相隔n年的两个人口普查数，P（0）和P（n），由这些值所代表的实际年增长率由P（n）＝P（0）·（1＋r_α）ⁿ得到，所以

另外，我们能利用，得到

作为一个连续瞬间增长率。推导出一个反映短期增长模式的估计增长率之后，P（t）的未知值则可以利用（4.21）和（4.22）式的任何一个来估计。

对于求内插值和短期外插值这是一个非常流行的方法。

4.3.4　逻辑曲线

上面描述的所有方法都没有增长的上界，这是一个重大的缺陷。例如，假设规划时间t＝∞，上面的增长模型都导致一个无穷大的人口。

一个在最终人口设置了上界的模型是在1838年由Verhulst第一个提出的，称为逻辑模型（见图4.5）。

图4.5

一个连续瞬时人口增长率r_t定义为：

这里，r_t通常是t的函数。在r_t随时间不变，并且等于r_i的特殊情形，产生（4.22）式。如果对逻辑模型设置了一个增长上界，即，这时要达到一个上限，瞬间增长率r_t必须随时间递减，并且最终达到0。

我们从微分方程开始，令

这与（4.25）式类似，但这时的瞬间增长率是递减的。当t→∞时，P（t）→α，所以需要r_t→0。而在t＝0时，由于P（0）≠0，我们有r₀＝。因此k不是时刻0的初增长率；像α那样，k仅仅是必须被指定的模型的一个参数。

为了解（4.26）式求P（t），我们重新排列得到

这里为了记号的方便，用P代替P（t）。把左边分解为部分分式，我们有

接着我们对（4.27b）的两边积分得到

或者

在t＝0时求（4.27d）式的值，我们得到积分中的常数

当代入（4.27d）时，给出

或者通过对（4.27f）式取逆对数而得

最后，我们解（4.27g）式求P（t）得到

在t＝0时，（4.28）式正确地给出P（0）＝P（0），并且在t＝∞时，它给出P（∞）＝α。（4.28）式通常写作

这里（因此），并且B是一个常数，它使。

4.3.5　分要素人口精算估计的理论模型

分要素人口精算估计需要对区域人口总数和结构进行预测等。

（1）区域人口预测

影响人口变动的因素有人口的出生、死亡和迁移，在已知期初人口数和期内人口出生数、死亡数和迁移数时，可以利用人口平衡方程预测期末人口数。如果以P_t，x表示t年初x岁的人口数，D_t，x为t年内x岁死亡人数，I_t，x为t年内x岁迁入人数，E_t，x为t年内x岁迁出人数，那么

零岁人口数通过预测出生人口数得到，以B_t－1表示t－1年内的出生人数，p_B表示年内存活到t年初的婴儿存活率，有

P_t，0＝B_t－1p_B

运用上述平衡方程预测人口，需要首先预测人口的出生数、分年龄死亡人口数和分年龄迁移人口数，在不考虑国际迁移时，全国人口的变动只受死亡和出生的影响。

已知预测期初人口寿命e（0），预测期末精算假设的人口寿命e（n）下，可以根据人口寿命的变动规律，依据一定的递推公式计算出预测期内各年的人口余寿，由于

式中，_sp_t，x为t年x岁存活s（s≥0）时的概率，_k＋1p_t为t年x岁存活k＋1（k＝0，1，2，…）年的概率，根据人口的分年龄死亡模式，可以估计出t年的存活概率。

分年龄死亡率通常有以下几种估计方法：第一，假设分年龄死亡模式不变，在一定的预期寿命下估计分年龄死亡率，这种方法一般在短期预测、预测地区的死亡率水平已很低，或者对预测的准确度要求不高时使用；第二，选择合适预测地区的模型生命表，在预测的预期寿命水平下直接或根据相邻水平插值得出分年龄死亡率；第三，根据布拉斯罗吉特生命表，预测未来年份的年龄别存活概率。

t＋1年x＋1岁的人口数P_{t＋1，x＋1}是t年x岁存活一年后的人数，也就是t年x岁的人口数与t年x岁存活一年概率之积。用公式表示为：

以分性别的人口和存活率代入上式，可以分别估计男女分年龄人口数。

零岁人口数根据出生人口数估计，以B_t表示t年出生人数，W_t，x表示t年x岁的妇女人数，f_t，x表示t年x岁妇女的女性生育率，有

式中：k为男性出生人口比例，α、β是生育孩子年龄的下限和上限。

总出生人数＝女性出生数＋男性出生人数

设t年妇女总和生育率为TFR_t，它是育龄妇女分年龄女性生育率之和。

根据一定的生育模式可以估计分年龄生育率。最简单的分年龄生育率估计，可以用标准化生育模式乘以预测年份总和生育率得出。

设标准化生育模式为h_x，t，有

显然

可见，h_t，x实际上是分摊总和生育率形成分年龄生育率的分摊系数。当h_t，x不随时间变化时，可以用未来总和生育率和稳定的生育模式预测未来的分年龄生育率。考虑生育模式的变化，可以采用布拉斯的冈泊茨相关生育模型估计分年龄生育率。

（2）城镇人口预测

在城镇的人口总和生育率和预期寿命下，采取上述人口预测方法，同时考虑人口城镇化的因素，可以预测城镇人口。其中，城镇出生人数、分年龄死亡人数的预测与上述方法相同，根据迁移政策和迁移的统计数据可以预测未来城镇人口净迁移人数和净迁移率，在分年龄迁移模式下，进一步估计出分年龄迁移率，从而预测分性别和分年龄的城镇人口。

以表示t年x岁的城镇人口数，表示t年x岁城镇人口的死亡人数，表示t年x岁城镇人口的净迁入人数，有

分年龄的净迁移人数，可以采取与分年龄生育率类似的估计方法得到。在一定的迁移模式下，根据总和迁移率可以估计出分年龄的迁移率。分年龄率迁移人数是分年龄人数与分年龄迁移率的乘积。