投票悖论和阿罗的不可能定理

2.2　投票悖论和阿罗的不可能定理

在多数票决策规则下，反映中间投票人偏好的决策结果不仅存在着不能实现最优地方公共产品规模的问题，而且这一决策机制还有一个更大的局限性，就是当对不同的预算方案（不是不同的预算规模）进行决策时，可能不存在稳定一致的决策结果，这就是投票悖论问题。

一、投票悖论

假定有三个投票人甲、乙、丙，对三个备选方案A、B、C进行投票，三个人对这三个方案的偏好次序如下：

甲：A＞B＞C

乙：C＞A＞B

丙：B＞C＞A

在A、B两方案之间投票表决时，甲、乙两人都认为A胜过B，A方案获胜；在B、C两方案之间表决时，甲、丙两人都认为B胜过C，B方案获胜，人们很容易照此结果推断出A方案应也胜过C，成为最后的选择。然而如果我们在A、C两方案之间再进行一次表决，乙、丙两人都认为C胜过A，C反而获胜！不难发现，在只进行两次表决的情况下，将投票次序加以改变，三个方案都有获胜的可能，这种现象被称为投票悖论或循环投票困境（Paradox of Cyclical Voting）。

二、阿罗的不可能定理

在认识到循环投票困境现象以后，人们一直在努力寻找能够消除这一困境的其他的民主决策制度，然而美国经济学家肯尼思·阿罗通过研究证明，满足一切民主制度的要求又不会出现循环投票困境的决策机制是不存在的，这一结论被称为阿罗的不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）。

具体地说，阿罗提出的完善的社会抉择原则和手段应满足的条件包括以下五个方面。

1.合理性。给定个人偏好次序，社会抉择原则必须产生这样一种社会顺序：这个顺序是完整的，即每一对选择方案中，都有一个被选中而另一个落选，同时每两个方案之间的关系都是不同的；这种顺序又是可传递的，即如果X方案优于Y方案，Y方案优于Z方案，则必然X方案优于Z方案。

2.独立性。如果在两个方案之间选择，结果不应该由第三个方案的存在来决定。即建游泳池还是篮球场的决策应与是否建一座图书馆无关。

3.帕累托原则。如果社会中每个人都选择X方案而非Y方案，则社会选择的顺序将是X方案优于Y方案；但如果至少有一个人选择X方案而非Y方案，其他人对X、Y两方案的顺序无所谓，则社会选择的顺序也是X方案优于Y方案。

4.自由选择。社会顺序的产生，不应是通过限制个人偏好顺序来达到。

5.非独裁性。即不存在某个人，他的选择成为社会选择，而别人有着与他不同的偏好顺序。

1998年诺贝尔经济学奖获得者，经济学家阿马蒂亚·森发现，在上文所述的甲、乙、丙三人对A、B、C三个方案进行投票的例子中，将甲的偏好次序稍作改变，则投票悖论可轻松解决。即若甲的偏好次序不是A＞B＞C，而是B＞A＞C，乙、丙的偏好不变，则甲、乙认为B胜过C，乙、丙认为C胜过A，甲、乙认为B也胜过A，于是B方案获得多数票而胜出。森发现在这一例子中甲、乙、丙三人都同意A方案不是最佳，他进一步推知，依据多数票决策规则对三个方案进行投票时，只要符合以下三种条件之一，就能得到唯一确定的结果：

（1）所有人都同意其中一项选择不是最佳；

（2）同意某一项选择不是次佳；

（3）同意某一项不是最差。

当有四项或四项以上的备选方案时，每个包括三项选择的子集必须符合这三种条件之一。这就是阿马蒂亚·森著名的价值限制理论。

森的结论对于解决多数票决策规则下不能得到确定结果的问题虽然很有意义，但他事实上并未推翻阿罗的不可能定理，因为他解决投票悖论的方法违背了阿罗提出的自由选择这一条件。

这样，阿罗的不可能定理使我们能对以多数票决策规则为特点的民主制度有一个较为理性的认识，尽管它是当今世界各国广泛采用的一种较为理想的决策制度，这一制度却仍有着其自身难以克服的缺陷。