▲阿基里斯悖论

▲阿基里斯悖论

稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺，曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。

阿基里斯是古希腊神话中擅跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟速度的10倍，乌龟跑在前面100米，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米。于是，一个新的起点产生了。阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追到那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点时，慢跑者又向前跑了一段，又有新的出发点在等着他，有无限个这样的出发点。

芝诺当然知道阿基里斯能够追上乌龟，跑步者肯定也能跑到终点。

类似阿基里斯追乌龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假设，那就是假设阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成的。

以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看作时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统，即无论将时间间隔取得再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。

其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100m/9s之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100m/9s可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1s时间，我们先要过一半即1/2s，再过一半即1/4s，再过一半即1/8s，这样下去我们永远都过不完这1s，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1s了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2s、1/4s、1/8s，等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2s、1/4s、1/8s，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1s。