其中第n项un称为级数的一般项或通项．
例如，级数
级数
式（1）只是形式上的和式，因为逐项相加对无穷多项来说是无法实现的．怎么理解无穷多个数相加呢？我们从怎样界定无穷级数
的意义开始．为此从第1项开始一次加一项，并考察这些“部分和”的变动情况：
部分和组成一个数列，其第n项
否则称级数发散．
例1 讨论首项为a（≠0），公比为q为几何级数（等比级数）
的收敛性．
解 当q≠1时，级数的部分和
a－a＋a－a＋…
当q＝1时，sn＝na→∞，从而级数（2）发散．
特别地，记q＝x，当a＝1且|x|＜1时有
这是以后经常用到的结果．
例2 证明级数
收敛，并求其和．
证 级数的部分和
例3 把循环小数2.717171…表示成两个整数之比．
解
当无穷级数收敛时，其部分和sn是级数的和s的近似值，它们之间的差
称为级数的余项．用sn近似s所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为|rn|．
由于
所以当n充分大时，这个误差可以任意小．
例4 几个发散级数
（1）级数
1－1＋1－1＋1－1＋…
把级数的项两两分组为
从而得到级数的和分别为0或1．但这种做法是错误的，因为这是一个无穷级数，而非有限个数相加，加法结合律不适用．事实上，如果它有和，则必须是部分和数列
1，0，1，0，1，…
的极限．因为这个数列没有极限，从而级数发散．
（2）级数
a＋a＋…＋a＋… （a为非零常数）
其部分和
sn＝na→∞（n→∞），
所以级数发散．
（3）级数
其部分和
所以级数发散．
值得注意的是，通项趋于零只是级数收敛的必要条件而不是充分条件．也就是说，通项趋于零的级数也可能发散．例如，调和级数
假设级数（3）是收敛的，它的部分和为sn，且sn→s（n→∞）．显然，对级数（3）前2n项的部分和s2n，也有s2n→s（n→∞）．于是
s2n－sn→s－s＝0 （n→∞）．
另一方面
故n→∞时，s2n－sn不趋于零，矛盾，所以调和级数必定发散．
调和级数的部分和趋于无穷大，但趋于无穷大的速度极其缓慢．
例5 为使调和级数的部分和大于20，大约需要多少项？
解 用sn表示调和级数的前n项部分和．比较图8.1与图8.2，可看出
这个性质也可表述为：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
需要注意的是，两个发散的级数逐项相加减后得到的级数可能收敛也可能发散；而一个收敛的级数和一个发散的级数逐项相加减后得到的级数一定发散．
性质3 去掉级数的前有限项或在级数前面加上有限项不会改变级数的收敛性．
证 设将级数
u1＋u2＋…＋uk＋uk＋1＋…＋uk＋n＋…
的前k项去掉，则得级数
uk＋1＋uk＋2＋…＋uk＋n＋…．
于是新级数的部分和为
σn＝uk＋1＋uk＋2＋…＋uk＋n＝sk＋n－sk，
其中sk＋n是原级数的前k＋n项的和．因为sk是常数，所以当n→∞时，σn与sk＋n同时收敛或同时发散，因此去掉级数的前有限项不会改变级数的收敛性，但级数的和是会改变的．
类似可证明，在级数前面加上有限项不会改变级数的收敛性．
因为在级数中去掉、加上或改变有限项，都可以看成去掉级数的前有限项，然后在级数前面加上有限项的结果．因此有如下推论：
推论 级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性．
例6 判断下列级数的收敛性：
1．写出下列级数的一般项：
2．根据级数收敛的定义判定下列级数的收敛性：
3．判定下列级数的收敛性：
4．求下列级数的和：
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