级数求和法

§5.4　幂级数·级数求和法

幂级数∑a_n（x－x₀）ⁿ和∑a_nxⁿ只相差一个平移变换，故只需讨论∑a_nxⁿ的性质、收敛性、求和法。

幂级数包含三方面内容：

1．已知函数f（x）在x＝0或x＝x₀的幂级数展开；

2．幂级数的性质（收敛半径、逐项可导、逐项可微等等）；

3．幂级数及数项级数求和法。

对第一项内容在Taylor展开部分已作了一定讨论，现只要掌握几个重要的幂级数展开式：e^x，sinx，cosx，（1＋x）^α，ln（1＋x），并记牢它们的收敛域。

本节主要研究第二、三项内容。

一、幂级数的收敛性与一致收敛性

1．幂级数的收敛半径与收敛范围

（1）柯西－阿达玛公式：收敛半径

特别，当极限存在时，可将上极限置换成极限；公式（1）中的分母允许取到0或＋∞。

（3）对区间的端点，要单独进行讨论（往往用交错级数的Leibniz判别法，或拉阿伯判别法等）。

例1　求幂级数∑a_nxⁿ的收敛域，其中系数｛a_n｝如下：

（3）a_n表示正整数n的因子的个数；

若b<a时，类似讨论。

（4）由二项式定理

2．幂级数的一致收敛性

Abel第二定理：设幂级数∑a_nxⁿ的收敛半径为R，则该幂级数在其收敛区间内闭一致收敛，又若级数在端点R处收敛，则它必在［a，R］（－R<a<R）上一致收敛。

二、幂级数的和函数的性质

设S（x）＝∑a_nxⁿ，收敛半径为R。

1．和函数连续性

Abel定理　S（x）在收敛区间上连续。

　　　　（若幂级数在端点处收敛，则和函数在该端点亦单边连续）。

2．逐项可积性

3．逐项可导性

但只须对幂级数的系数a_n给以一定条件，则某种类型的“Abel定性的逆定理”还是成立的，请看下述例子。

（1）a_n≥0；

（2）limna_n＝0；

在证明了∑a_nxⁿ在x＝1收敛后，由Abel定理必有∑a_n＝S。

（2）、（3）款的证明读者可以参阅［3］§5.6节。限于篇幅，在此不证。

（2）此级数的收敛域为（－1，1］；

（3）在（－1，1］上此级数不一致收敛。

（武汉大学1996年）

证明　（1）以前已经证得，参见§1.1例4。

（3）由于级数在x＝－1处发散，易知在（－1，1］不一致收敛。

若用不一致收敛的定义，则有一定难度：

（北京科技大学2001年）

注　本例的变量代换化简技巧值得仿效与思考，巧用已知函数的Taylor展开式亦值得留意。

三、幂级数求和法

1．利用逐项求导和逐项求积分

在端点±1处，另行计算出S（1）＝2ln2－1S（－1）＝1。

解　该级数收敛区间（－1，1）∀｜x｜<1，逐项积分得

所以

2．方程式法

要点：设法证明级数的和函数满足某个微分方程，然后解此方程。

解　收敛区间（－∞，＋∞），逐项求导知

S′（x）＝1＋xS（x），且S（0）＝1

依据贝努里方程y′＋p（x）y＝Q（x）的通解公式

3．三角级数求和法

解　令z＝e^ix＝cosx＋isinx（欧拉公式）

得知；

4．利用级数的柯西乘积公式

由迫敛性知

从而收敛半径R＝1，端点±1处显然发散。所以级数的收敛域是（－1，1）。联想级数的乘积公式：∀x∈（－1，1），如下的两个幂级数

皆绝对收敛（乃幂级数之性质），相乘立得：

若将题目改成：

或

又将如何求和？

四、数项级数求和法

1．拆项相消法

便可以拆项相消。

解　由于

易知

2．利用Abel第二定理即和函数连续性计算

所以

更一般地，笔者曾探讨一类所谓的等间距交错级数u₁＋u₂＋…＋u_q－u_q＋1－u_q＋2－…－u_2q＋u_2q＋1＋…（其中q为某自然数，u_n≥0）的收敛性及求和法，推广了Leibniz交错级数收敛性判别法，并就u_n是等差正整数列的倒数的情形推导了一般求和公式。在此兹撷取两个结果：

对相关结论有兴趣的读者可以参阅［21］。

在（－1，1）内逐项求导两次，得

求积分两次得出f（x）＝（x＋2）ln（1＋x）－2x，所以所求的和S＝f（1）＝3ln2－2。

3．利用欧拉常数

解二　令

逐项求导方法亦可以解得。

4．利用Fourier级数

Fourier级数的相关知识将在下一节中详加叙述，本段仅提供一个用Fourier级数求解数项级数和的例子。

令x＝0，同样得出

若记

则

习题5.4

（1993年数学（一））

（2002年数学（一））