幂级数及其和函数

§7.4　幂级数及其和函数

幂级数及其收敛半径

形如

的级数称为幂级数，其中｛a_n｝是一数列，x视为变量，x₀为一常数。为简单起见我们着重讨论x₀＝0的情况，即

对于x₀≠0情形，可通过平移变换x′＝x－x₀化成上述情形。

首先讨论幂级数的收敛性问题，对任何幂级数来说，它在x＝0处总是收敛的。对常数x₀，若数项级数收敛，则称幂级数在x₀处收敛。此时也称x₀为该幂级数的收敛点。否则，则称该幂级数在x₀处发散。对于其他x的收敛状况，我们有如下重要定理。

定理7.4.1（Abel定理）　如果幂级数当x＝x₀≠0时收敛，则对于适合不等式｜x｜＜｜x₀｜的一切x，幂级数在x处绝对收敛；如果幂级数当x＝x₀时发散，则对于适合不等式｜x｜＞｜x₀｜的一切x，幂级数在x处发散。

证明　先设x₀是幂级数的收敛点，即级数

收敛。根据级数收敛的必要条件，这时有

于是存在一个常数M，使得

这样级数的一般项的绝对值

因为当｜x｜＜｜x₀｜时，等比级数收敛，所以级数收敛，也就是级数绝对收敛。

定理的第二部分可用反证法证明。倘若幂级数当x＝x₀时发散而有一个点x₁适合｜x₁｜＞｜x₀｜使级数收敛，则根据本定理的第一部分，级数当x＝x₀时应收敛，这与所设矛盾。定理得证。　　□

定理7.4.1告诉我们，如果幂级数在x＝x₀处收敛，则对于开区间（-｜x₀｜，｜x₀｜）内的任何x，幂级数都收敛；如果幂级数在x＝x₀处发散，则对于闭区间［-｜x₀｜，｜x₀｜］外任何x，幂级数都发散。

推论7.4.2　如果幂级数不是仅在x＝0一点收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，使得

当｜x｜＜R时，幂级数绝对收敛；

当｜x｜＞R时，幂级数发散；

当x＝R与x＝-R时，幂级数可能收敛也可能发散。

正数R通常叫做幂级数的收敛半径。由幂级数在x＝±R处的收敛性就可以决定它在区间（-R,R），［-R,R），（-R,R］或［-R,R］上收敛，这区间叫做幂级数的收敛区间。

如果幂级数只在x＝0处收敛，这时收敛域（即收敛点全体）只有一点x＝0．但为了方便起见，我们规定这时收敛半径R＝0，并说收敛区间只有一点x＝0；如果幂级数对一切x都收敛，则规定收敛半径R＝+∞，这时收敛区间是（-∞,+∞）．

关于幂级数的收敛半径的求法，有下面的定理。

定理7.4.3　对于幂级数如果

则这个幂级数的收敛半径

证明　考察幂级数的各项绝对值所成的级数

这级数相邻两项之比为

（i）如果（ρ≠0）存在，根据比值判别法，则当ρ｜x｜＜1即时，级数（1）收敛，从而级数绝对收敛；当ρ｜x｜＞1即时，级数（1）发散，并且从某一个n开始

｜a_n＋1x^n＋1｜＞｜a_nxⁿ｜，

因为一般项｜a_nxⁿ｜不能趋于零，所以a_nxⁿ也不能趋于零，从而级数发散。于是收敛半径

（ii）如果ρ＝0，则对任何x≠0有→0（n→∞），所以级数（1）收敛，从而级数绝对收敛。于是收敛半径R＝+∞．

（iii）如果ρ＝+∞，则对于除x＝0外的其他一切x值，级数必发散。于是

定理7.4.4　对于幂级数如果

则这个幂级数的收敛半径

证法与定理7.4.3类似，这里略去。

例7.4.5　求幂级数

的收敛半径与收敛区间。

解　因为

所以收敛半径

对于端点x＝1，级数成为交错级数

级数收敛。

对于端点x＝-1，级数成为

级数发散。因此，收敛区间是

例7.4.6　求幂级数

的收敛区间。

解　因为

所以收敛半径R＝+∞，从而收敛区间是

例7.4.7　求幂级数的收敛半径（记号0！＝1）．

解　因为

所以收敛半径R＝0，即级数仅在x＝0处收敛。　　◇

例7.4.8　求幂级数的收敛半径。

解　级数缺少奇次幂的项，定理7.4.3不能直接应用。我们根据比值判别法来求收敛半径：

当4｜x｜²时级数收敛；当4｜x｜²＞1即时级数发散。所以收敛半径

例7.4.9　求幂级数的收敛区间。

解　令t＝x－1，上述级数变为

因为

所以收敛半径R＝2．

当t＝2时，级数成为这级数发散；当t＝-2时，级数成为这级数收敛。因此收敛区间为-2≤t＜2，即-2≤x－1＜2或-1≤x＜3，所以原幂级数的收敛区间为

幂级数的性质及运算

假设幂级数的收敛区间为I，则定义I上的函数S：

并称S为该幂级数的和函数。幂级数的和函数有许多重要性质。

定理7.4.10　设幂级数的收敛区间为I，则它的和函数S（x）在I上连续。

证明　对于任一点x₀∈I，我们分两种情形证明S（x）在x₀连续。

（i）若x₀是I的内点，则存在I的内点a，b，a＜b，使x₀∈［a,b］⊂I．令r＝max｛｜a｜,｜b｜｝，由定理7.4.1知绝对收敛。于是对任何ε＞0，总存在自然数N₁，当n＞N₁时，都有

从而对任意x∈［a,b］有

当然也有

取n₀＞N₁，由于在I上连续，故存在δ＞0，当｜x－x₀｜＜δ时，有

于是

故S（x）在x₀连续。

（ii）若x₀是I的边界点，不妨设则x₀＞0．由于收敛，故对任何ε＞0，总存在任何自然数N₂，当n＞N₂时，都有

又对每个固定的x∈［0，x₀］，是单调减数列，于是由阿贝尔引理有

在上式中令p→∞，我们有

特别有

取定n₀＞N₂之后，可知：存在δ＞0，当x₀－x＜δ时，有

于是由（6），（7），（8）知（5）成立，即S（x）在x₀连续。　　□

定理7.4.11　设幂级数的收敛区间为I，则它的和函数S在I的任何有限闭子区间［a,b］上都可积，且有

特别地，当a＝0，b＝x∈I时，有

证明　由定理7.4.10知和函数S在I上连续，所以它在I的任何有限闭子区间［a,b］上可积。所以都存在。类似于定理7.4.10的证明知，对任何ε＞0，总存在自然数N，当n＞N时，对一切x∈［a,b］有

于是

从而由极限定义有

定理7.4.12　设幂级数的收敛半径R＞0，和函数为S（x），则在（-R,R）内幂级数可以逐项求导数，即对（-R,R）内任一点x，有

证明　首先，我们证明逐项求导后所得幂级数在（-R,R）中收敛。任取x∈（-R,R），则存在a，b∈（-R,R），a＜b，使得x∈（a,b）．令r＝max｛｜a｜,｜b｜｝，则由于绝对收敛，故数列｛a_nrⁿ｝有界，即存在M＞0，使对一切自然数n，有｜a_nr^n－1｜≤M．于是由

及知，绝对收敛，因而收敛。

其次，我们证明（10）成立。设在（-R,R）中的和函数是φ（x），由定理7.4.11知

在上式两边求导得即（10）成立。　　□

例7.4.13　利用逐项求导或逐项积分求下列级数的和函数：

解　（1）当｜x｜＜1时，级数收敛。令则

两边求导得到

（2）因为

所以

（3）因为

而

所以