幂级数泰勒级数

1.4.2　幂级数泰勒级数

1.幂级数的概念和性质

(1)幂级数的概念(x－x₀)ⁿ称为幂级数，令t=x－x₀，可化为

(2)幂级数的收敛性

关于幂级数的收敛性，有如下定理.

定理(阿贝尔定理)若级数当x=x₀(x₀≠0)时收敛，则对适合|x|＜|x₀|的一切x，级数绝对收敛;若级数当x=x₀时发散，则对适合|x|＞|x₀|的一切x，级数发散.

(3)幂级数的收敛半径及其求法

若幂级数在某些点收敛，在某些点发散，则必存在唯一的正数R，使当|x|＜R时，级数绝对收敛，当|x|＞R时，级数发散.这个R称为幂级数的收敛半径，若幂级数只在x=0处收敛，则规定收敛半径R=0;若幂级数对一切x都收敛，则规定收敛半径R=+∞.

关于幂级数的收敛半径的求法，有如下定理.

定理对幂级数，若

则它的收敛半径

(4)幂级数的性质

若幂级数的收敛半径为R，则称开区间(－R，R)为幂级数的收敛区间^[4];根据幂级数在x=±R处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域(即收敛点的全体)是四个区间:(－R，R)，［－R，R)，(－R，R］，［－R，R］之一.

幂级数具有以下性质:

①幂级数的和函数在其收敛域上连续;

②幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导、逐项积分公式

逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

2.泰勒级数

(1)泰勒级数的概念

若f(x)在点x₀处具有各阶导数，则幂级数称为函数f(x)在点x₀处的泰勒级数，特别当x₀=0时，级数(0)xⁿ称为函数f(x)的麦克劳林级数.

(2)函数展开成泰勒级数的条件

设函数f(x)在点x₀的某邻域U(x₀)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数(即f(x)的泰勒级数收敛于f(x)本身)的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项R_n(x)=(x－x₀)ⁿ⁺¹→0(n→∞)(其中ξ=x₀+θ(x－x₀)，0＜θ＜1).

(3)函数展开成幂级数的方法

①直接法.要把函数f(x)展开成x的幂级数，可以按照下列步骤进行.

第一步:求出f(x)的各阶导数f'(x)，f″(x)，…，f⁽ⁿ⁾(x)，…，如果在x=0处的某阶导数不存在，就停止进行，例如在x=0处，f(x)=的三阶导数不存在，它就不能展开为x的幂级数.

第二步:求函数及其各阶导数在x=0处的值:

f(0)，f'(0)，f″(0)，…，f⁽ⁿ⁾(0)，….

第三步:写出幂级数

并求出收敛半径R.

第四步:考察当x在区间(－R，R)内时余项R_n(x)的极限

是否为零?如果为零，则函数f(x)在区间(－R，R)内的幂级数展开式为

②间接法，即利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算(如四则运算，逐项求导，逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这种方法不但计算简单，而且可以避免研究余项.

如将展开成x的幂级数.

利用

把x换成－x²，得1－x²+x⁴－…+(－1)ⁿx²ⁿ+…(－1＜x＜1).

又如，将ln(1+x)展开成x的幂级数.

因为

(ln(1+x))'=

而　=1－x+x²－x³+…+(－1)ⁿxⁿ+…(－1＜x＜1)，将上式从0到x积分，得

已知sinx的幂级数展开式:对上式逐项求导，就得

(4)常用函数的幂级数展开式

当μ=－，－1时，有

【例1.4-10】幂级数的收敛域是(　).

(A)(－1，1)　(B)［－1，1］　(C)［－1，1)　(D)(－1，1］

解:易知级数收敛半径R=1，当x=－1时，级数发散，当x=1时，级数收敛，故应选(D).

【例1.4-11】若x－1)ⁿ在x=－1处收敛，则此级数在x=2处(　).

(A)条件收敛　(B)绝对收敛　(C)发散　(D)收敛性不能确定

解:由的结构知其收敛区间的中心为x=1，已知x=－1为此级数的一个收敛点，设其收敛半径为R，则R≥|(－1)－1|=2，而x=2与收敛区间中心x=1的距离为1，1＜R，由幂级数的收敛性(阿贝尔定理)知，此级数在x=2处绝对收敛，故应选(B).

【例1.4-12】利用逐项求导法求级数(－1＜x＜1)的和函数.

利用逐项求导公式，得

【例1.4-13】将函数展开成(x－3)的幂级数.

【例1.4-14】将函数展开成x的幂级数.

解:先将有理分式分解成部分分式之和:

【例1.4-15】函数在x=2处的泰勒级数展开式为(　).

应选(A).