几何级数增加

几何级数增加

几何级数增加

“1990年以后呈几何级数增长的游客”、“钻石越大，价格也呈几何级数增长”……人们在阅读这样的新闻时，经常会接触到表示快速增加的“几何级数”这个词。

这个词也出现在过去控制人口出生率的宣传片中，对此，还有许多人记忆犹新。“粮食呈等差级数（1、2、3、4、5……）增长，而人口却以几何数（1、2、4、8、16、32……）增加”。

英国经济家托马斯·马尔萨斯的上述主张成为当时控制人口出生率的理论根据。不过，现在已时过镜迁，韩国的情况也发生了很大变化。问题已不再是缺少粮食，而是低出生率。

国际象棋的褒奖

几何级数增加究竟有多大威力？下面这个故事会告诉我们答案。

很久以前，印度有一个国王非常好战，百姓们苦不堪言。为了改变国王的这个嗜好，有一位叫塞塔的僧侣发明了游戏规则与战争相似的国际象棋。与兵力多少无关，靠战略战术决胜负，并且变化多端的国际象棋让这位国王着了迷，他在小小棋盘里体会战争的快乐，从而使战争远离了这个国家。

作为回报，国王答应无论塞塔喜欢什么都可以送给他。塞塔便要求国王在棋盘的第一个方格放1粒小麦，第二个方格放2粒小麦，第三个方格放4粒小麦，依此类推，翻倍填满整个棋盘的64个方格。

国王认为这点儿要求不算什么，然而，事实上国王却掉进了塞塔的圈套。如果按照这种方式填满棋盘的话，则需要1＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋……＋2⁶³粒小麦，计算结果为18 446 744 073 709 551 615粒。假设1立方米能装约1　500万粒小麦，则总体积可达1　200立方千米，可以说这是不可能兑现的承诺。

报纸折半相叠

通过折叠报纸试验也可知道几何级数增加超乎想象的结果。厚度为0.2毫米的报纸进行反复折叠，则第1次折叠时厚度为0.4毫米，第2次折叠时为0.8毫米，第3次折叠时为1.6毫米，那么，折到第50次时报纸厚度是多少呢？

事实上折叠50次是不可能的事情，但通过数学计算得出的报纸厚度是0.2×2⁵⁰毫米，即225 179 981 368 524毫米。如果换算为公里的话是225 180 000公里，比地球与太阳之间的距离149 598 100公里还要长。讲到这里，你就可以理解爱因斯坦称几何级数增长是“世界第八大奇迹”的理由了。

千（kilo）、兆（mega）、千兆（giga）

正如1公里是1　000米一样，千是10的3次方。比10³—1千（kilo）大的单位还有兆（mega）和千兆（giga）。因表示电脑容量而令们十分熟悉的兆是10⁶，而千兆是10⁹，这些单位均可用10的多次方表示。但电脑中的字节却是以2为基本单位，所以在表示电脑记忆容量时要使用2的多次方。1千字节是2¹⁰字节，1兆字节是2¹⁰千字节，依此类推。

在这里，10³对应的是2¹⁰，其理由是2¹⁰＝1024与10³＝1000数值相近。

继信息通信技术之后，成为时代宠儿的将是纳米技术。与信息通信技术中的兆和千兆不同，纳米技术采用的是微量单位。纳米技术的纳米（nano）是表示10^－9的词头。纳米与千兆源于希腊神话中的“侏儒”和“巨人”。

引领未来的新技术是无限扩大容量的信息通信技术和迈向微观世界的纳米技术，从这两个技术使用的单位来看，新技术体现出明显的“两级分化”倾向。

只有16厘米……

与呈几何级数增加最终可得出天文数字一样，我们往往也会遇到和预想结果不同的情况。

比如说，我们假设有紧紧缠绕地球赤道的一根长线，如果增加1米长度，则线会有些松动并与地面出现缝隙。不过，很多人认为围绕地球一周需要的线长约为40000千米，所以，即使长度增加1米，其影响也可以忽略不记。

在我们设想之中，线与地面之间的缝隙微乎其微，应该不到几毫米。然而，令人吃惊的是这条线与地面的缝隙要比预想的大得多，计算结果为16厘米。

如果地球半径为r米，那么缠绕地球的线长为2πr米。假设线长增加1米，则线总长度为（2πr＋1）米，定义h米为线与地球表面之间的缝隙，则2πr＋1＝2π（r＋h）等式应该成立。计算该等式可得出h＝1/2π≒0.16米，即约16厘米。

有16厘米……

这次我们用棒球做同样的试验。缠绕棒球的线长如果增加1米，那么，线与棒球表面之间的距离为多少呢？

与前面情况不同，此时的1米相对棒球的周长来说很长，所以按常理推断，线与棒球表面的缝隙应该很大。然而，通过计算你会惊奇地发现其结果竟然与缠绕地球一样约为16厘米。这是因为计算h的公式h＝1/2π中没有r，也就是说它与半径无关，所以结果是一样的。