【摘要】：与此类似，为了判断系统状态是否能单向收敛，本书提出了单向收敛条件。若Δd＞0，根据式（5.8）得＜0，所以=Δd·＜0。下面对单调收敛性进行证明。证明：控制有界下，由传统到达条件所确定的滑动模态存在区域可表示为由单向收敛条件确定的滑动模态存在区域可表示为若x1≠0，由Δd=0可推出s=0，即x2=－cx1。将x2=－cx1代入得 cx2+a1 x1+a2 x2+u=0，该式与s=0表达式一致。若Δd单调收敛到0，则状态收敛过程属于单向收敛。
单向收敛条件_交会对接制导与控
在传统滑模控制中，采用可达条件判断系统状态是否能够到达滑动模态。与此类似，为了判断系统状态是否能单向收敛，本书提出了单向收敛条件。
定义系统状态比值为d=－x2／x1＞0（即系统状态在相平面的二、四象限），当d=c时，系统状态位于滑动模态上。如果d→c的过程中，d或Δd是单调变化的，则系统状态的收敛过程是单向收敛的。由此，定义单向收敛条件为：
其中，Δd=d－c=－x2／x1－c=－s／x1。显然，式（5.8）与传统到达条件不同。
定理1：式（5.8）保证系统状态比值d单调收敛到c。
下面对单调收敛性进行证明。
若Δd＞0，则d＞c。由于
＜0，所以d单调减少，即Δd单调收敛。
若Δd＜0，则d＜c。由于
＞0，所以d单调增加，即Δd单调收敛。
证毕
式（5.8）不显含c，但是，由于Δd=d－c，式（5.8）仍和c相关。给定c，由式（5.8）中Δd=0，
=0可直接确定滑动模态存在区域。
定理2：控制有界情况下，对于给定c，传统到达条件和单向收敛条件所确定的滑动模态存在区域一致。
证明：控制有界下，由传统到达条件所确定的滑动模态存在区域可表示为
由单向收敛条件确定的滑动模态存在区域可表示为
证毕
单向收敛条件可以作为单向收敛的判断依据。若Δd单调收敛到0，则状态收敛过程属于单向收敛。否则，该过程属于非单向收敛。上述例子中，以data 1和data 2为初始状态的仿真中，Δd的变化过程，如图35所示。显然，data1情况下Δd单调收敛（不考虑在0附近的抖动），data2情况下Δd非单调收敛。
图35 data1、data2下的Δd
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