事件的独立性与独立试验

定义1.5.1　设A，B为两随机事件，当

成立时，称事件A，B相互独立（independence）。

定理1.5.1　当P（A）•P（B）≠0时，“事件A与事件B相互独立”等价于“条件概率等于无条件概率”，即

当事件A与事件B相互独立时，

定义1.5.2　设A，B，C为三个随机事件，当

都成立时，称事件A，B，C两两独立。

如果同时还满足P（ABC）＝P（A）•P（B）•P（C），则称事件A，B，C相互独立。

应注意到相互独立一定是两两独立的，而两两独立时不一定是相互独立的。

如果对于可列个事件，若其中任意的有限个事件相互独立，则称这可列个事件相互独立。

最后，我们来定义试验的独立性，假设所考虑的概率试验是由一系列子试验组成。例如，某一种彩票一期一期地不断开奖，就可以把每一次开奖看作一个子试验，而且这一期开奖的结果不影响其他期的开奖结果。像这样的试验结果互不影响的一系列试验称为独立试验。如果各个子试验是在相同条件下进行的，那我们就称这些试验为重复试验。

在实际问题中，我们常常不是用独立的定义去验证事件的独立性，而是根据实际情况来判断。例如，我们可以认为某一批袋装味精的重量（克）与纯味精的含量（％）是独立的；又如，甲、乙两人同时向各自的靶位射击，注意这儿的“同时”两字，这就意味着两个人的射击结果是互不影响的，所以事件“甲命中”与“乙命中”是相互独立的。

图1.5.1

例1.5.1　有5个独立元件组成的系统（如图1.5.1所示），

设每个元件运行正常的概率为户p，0＜p＜1。求系统运行正常的概率。

图1.5.2

图1.5.3

例1.5.2　一袋中有编号为1，2，3，4共四个球，每回从袋中有放回地取两次（一次一个球，假设取到每一个号码的概率相等），并记录号码之和。这样独立重复地试验，求“和等于3”出现在“和等于5”之前的概率。

解　设A＝｛“和等于3”出现在“和等于5”之前｝，B＝｛第一次号码之和为3｝，C＝｛第一次号码之和为5｝，D＝｛第一次号码之和既不是3，也不是5｝。

由全概率公式，得

在已知第一次号码和既不是3，也不是5的条件下，求A的条件概率问题，相当于重新开始考虑A的概率，因为试验是独立的，即第一次结果不影响A发生的概率，所以P（A|D）＝P（A），故

例1.5.3　某技术工人长期进行某项技术操作，他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，就按照自己的方法进行，但这样做有可能发生事故。设他每次操作发生事故的概率为p，0＜p且很小，他独立地进行了n次操作。求：（1）n次都不发生事故的概率；（2）至少有一次发生事故的概率。