串联电路的零输入响应

动态电路的输入—输出方程是二阶的微分方程，则称为二阶电路。RLC串联电路就是典型的二阶电路。本节通过RLC串联电路的零输入响应的讨论，主要研究这种电路在过阻尼、欠阻尼和临界等情况下的电压、电流的变化规律及能量转换过程，从而了解二阶电路的特点。

图6-48所示为RLC串联电路，电容原已充电到电压为U0，t =0闭合开关，电容C通过R、L放电，在图中规定的电流、电压参考方向下，由KVL可得

图6-48　RLC放电电路

式（6-57）是一个二阶线性常系数齐次微分方程。求解此方程时，仍先设uC = Aept，代入式（6-57）得特征方程为

解得特征根为

令，则有

下面对δ＞ω0，δ＜ω0，δ=ω0三种情况分别进行讨论。

1.过阻尼状态

把t=0，的初始条件代入式（6-59）和式（6-60），得

联立求解式（6-61），则得

所以，电容电压为

电流为

电感电压为

图6-49是uC、i、uL随时间的变化曲线。

由图6-49看出，电容电压uC是从U0开始单调地衰减到零。这是因为p1和p2均为负实数，且|p2 | ＞ | p1 | ， p2ep1t项衰减慢，p1 ep2t项衰减快，整个衰减过程近似取决于p2ep1t项。所以，电容处于非振荡放电状态。

在电容放电过程中，电流i由零开始逐渐增大，在t=tm时达到最大值，以后又逐渐衰减到零，并且i≥0。这是因为电流i的波形近似于（ep1t-ep2t）的波形，而ep1t比ep2t衰减得慢，故（ep1t-ep2t）是从零开始逐渐增大，在t = tm时达到最大值。此后由于ep2t已衰减到无足轻重的地步，ep1t则起主导作用，故（ep1t-ep2t）近似于ep1t ，并逐渐衰减至零，如图6-50所示。

图6-49　非振荡放电过程中uC 、 i、 uL曲线

同时，根据可导出t =2tm时，uL达到最小值。

整个放电过程中，能量转换是这样进行的：电容处于非振荡放电状态，它一直在放出能量；电阻一直在消耗能量；t＜tm时电流在增大，电感在吸收能量，磁场逐渐增强；t＞tm时电流在减小，电感放出能量，磁场逐渐减弱，趋向消失，直至放电过程完毕。

例6-16　图6-48所示电路中，R=500Ω，L=0.5H，C=12.5μF，uC（0- ） =6V，i（0- ） =0，t =0时闭合开关，求开关闭合后的uC 、i 、uL、和imax 。

特征根为

所以由式（6-62）、式（6-63）和式（6-64）可得

（2）电流最大值发生的时间tm为

2.欠阻尼状态

当δ＜ω0时，即，电路为振荡放电过程。此时，特征根p1和p2是一对共轭复数。

由于， ω0、 ω 、δ构成一直角三角形，如图6-51所示。由图6-51知， δ = ω0 cos 3 ， ω = ω0 sinβ，则

图6-51　ω0、ω、 δ构成直角三角形

则由式（6-62）得

由式（6-63）得

再由式（6-64）

从上述uC、i、uL的表达式看出，它们的波形呈现衰减的正弦振荡，在整个过程中，它们周期性地改变方向，储能元件L和C也周期性地交换能量。uC、i、uL的波形如图6-52所示。

图6-52　振荡放电过程中uC 、 t、 uL的波形

振荡放电的物理过程如下：图6-52中，在0＜ωt＜β期间，uC在减小，i在增大，电容释放出的储能除了电阻消耗的一部分外，另一部分转换为电感的磁场能量；在β ＜ωt ＜π-β期间，uC及i都在减少，电容和电感都在释放各自的储能。当ωt =π-β时，uC =0，电容的初始储能已释放完，而电流i≠0，电感还有储能。于是π-β＜ωt＜π期间，uC的绝对值在增大，电流i在减小，电感在继续释放储能，除了一部分消耗在电阻之外，另一部分使电容反向充电而转化为电容的电场能量。在ωt=π时，i=0，电感的磁场能量已释放完，电容反向充电停止。以后电容又开始反向放电，其过程与上述相同。电容往复充电和放电，就形成了振荡放电过程，此过程理论上要无限期进行下去的，但工程上认为电路中电压和电流基本上衰减到零时，电路中的过渡过程就算结束了。

指数衰减因子e-δt中的δ称为衰减系数；ω称为衰减振荡角频率，它只决定于电路的参数，故又称为自由振荡频率。

在理想的情况下，。所以，uC、i、uL的表达式为

可见，uC、i、uL都是正弦函数，它们的幅值不衰减，是一种等幅振荡过程。

例6-17　图6-48所示电路中，R =10Ω，L =0.1mH，C=200pF，uC（0- ） =10V，i（0-） =0，t =0时闭合开关，求开关闭合后的uC和i。

解　已知R=10Ω，而，所以，电路为振荡放电过程，特征根为

其中δ=5×104s-1，ω =ω0 =7.07×106rad/s,

所以

3.临界状态

则电容电压为

而电流

把初始条件uC（0+） = U0 ，i（0+） =0代入式（6-68）和式（6-69），得

则

由式（6-70）看出，uC是从U0开始逐渐衰减到零，并且始终保持为正值。i是从零开始，保持正值，最后衰减到零。由可求得电流i达到极大值的时间tm

临界放电与非振荡放电的uC、i波形相似，如图6-49所示。所以，临界放电过程属于非振荡放电过程。