自由表面的确定

带有自由表面的水流是水利工程中极为常见的一种水流，而对水流自由表面的确定，是流体的数值计算中颇为棘手的问题之一。对于大体积的水体运动，例如河流、海洋中的宏观水体运动，“刚盖假定”（Rigid－lid Approximation）能够巧妙地回避自由表面问题，同时满足计算的允许精度。但是，如果研究水利工程建筑物的局部水流变化问题，则“刚盖假定”有可能不再适用，所以，准确地确定自由表面的位置便成为流体的数值计算中不可回避的问题。由于自由表面形状事先未知，故自由表面问题为强非线性的不定边界问题。此外，当自由表面为多值函数或发生破碎时，还需要采取一些特殊方法来处理，这样就增加了确定自由表面的难度。至今，已有许多国内外学者对其进行了深入的研究和探索，并提出了一些行之有效的处理方法。下面我们对其中一些典型方法的特点和适用范围加以分析和讨论。

8.2.1 静压假定

静压假定就是假定流场中压强沿水深的分布呈静水压强分布。采用此假定的条件是垂直方向加速度远远小于重力加速度，以至可以忽略不计。这一假定被广泛地应用于大水体的数值计算中，迄今为止，几乎所有的大体积水流的三维数值模拟都是以此假定为基础。对于工程近区，当流场边界变化较大，引起流线弯曲剧烈时，该假定与实际情况偏差较大。

8.2.2 “刚盖”假定

所谓“刚盖”假定，就是假定自由液面是一个可移动的固体壁面，其上的边界条件同固体壁面的边界条件一样，即不可“穿入”条件。“刚盖”假定只适用于自由液面波动不大的情况。对于自由液面变动幅度大的水流，例如潮汐河口、近海区及工程近区，“刚盖”假定则不再适用。实践证明，对于自由表面起伏不大的水流，“刚盖”假定既能反映流动的主要特征，又能使计算得到很大的简化。

8.2.3 标高函数法

定义水深h是坐标（x，y）和时间（t）的函数，即h＝h（x，y，t），我们称此函数为标高函数。由于自由边界必须随着流体一起运动，故h必须满足运动控制方程，即

这里：Dh／Dt代表h对t的全导数；Ws是自由表面沿铅垂线方向的运动速度。

（8－1）式可具体表达为

式中：us、vs分别是自由边界上x、y方向的速度分量；h为水深。

自由表面满足剪切应力、正应力动力边界条件

式中：τzx、τxy为自由表面风应力，Pα为大气压强，Ps为自由表面压强。

周思平于1998年对标高函数法进行了改进，并与SIMPLE计算模式结合提出HH－SIM－PLE方法。在这一方法中，水面运动方程（8－1）仅仅被当作一个自由表面运动Ws的边界条件，而不是当作水深函数h的控制方程，水深函数h的真正控制方程是水深平均连续方程。

标高函数法的最大特点是适用于对非恒定自由表面问题的求解。但是，它对于自由表面是坐标的多值函数的问题（如排流、射流）则无能为力。

8.2.4 MAC法（The Marker－And－Cell Method）

MAC法是Harlow和Welch于1965年提出的一种处理自由表面的方法。该方法的基本思想是：设想在整个流场中均匀分布着没有体积、没有质量的小颗粒——标记点，这些小颗粒总是以当地流场的速度随着流体一起运动。显然，确定了这些小颗粒在不同时刻的空间位置，就可以确定流体自由边界的运动情况，因为标记点的外包线（面）就是自由表面的位置。MAC法是把不随流体运动的欧拉网格和随流体运动的拉格朗日标记点相结合的产物。追踪并记下标记点的位置，可以取得类似于染色形象照片的“迹线”图。

MAC法自1965年在美国Los Alamos科学实验室问世以来，受到计算流体力学界的广泛重视。MAC法的突出优点是：可以处理自由表面是坐标多值函数的问题，能生动地描绘带自由表面的流态变化，把流体运动的历史过程用动画片给出。这一特点对于精细地模拟水工水力学中常见的一些复杂的水流现象具有重要的意义。用MAC法计算的典型算例有：一滴水落在浅水池中溅起的水花、闸下出流涌浪、溃坝水流、水跃等。该方法的主要缺点在于必须贮存所有标记点随时间变化坐标的数值，这就使得计算贮存量大大增加。

8.2.5 VOF法（The Volume of Fluid Method）

VOF法是Hirt和Nichols于1981年提出的一种处理复杂自由表面的有效方法。该方法的基本思想是：定义函数F＝F（x，y，z，t）表示计算区域内流体体积占计算区域体积的相对比例。对于某个计算单元，若F＝1，则表示该单元被流体全部充满；若F＝0，则表示它是一个空单元；若0＜F＜1，则表示该单元部分充满流体。显然，对于自由表面问题，自由边界存在于第三种单元中。F的梯度可以用来确定自由边界的法线方向。计算各单元的F数值及梯度之后，就可以确定各单元中自由边界的近似位置。F的控制微分方程为

该式决定着流体体积函数F的输运过程。

VOF法的优点在于：只用一个函数就可以描述自由表面的各种复杂变化，该方法既具有MAC法的优点，又克服了MAC法所用计算机内存多和计算时间较长的缺点，同时克服了标高函数法无法处理自由表面是坐标多值函数的缺点。该方法是目前计算水工水力学带自由表面水流问题较理想的方法。