数值离散方法

在计算流体力学中，目前广为流行的离散方法有：有限差分法（FDM）、有限单元法（FEM）、边界单元法（BEM）、有限体积法（FVM）和有限分析法（FAM）等。下面就其各自的优缺点和适用范围进行分析和讨论，以便选择适宜的离散方法。

8.1.1 有限差分法

有限差分法是一种传统的数值离散方法。其基本思想是：在矩形网格上采用有限差分近似代替微分方程中的各阶微分项进行数值离散，要求所得的代数方程组在网格节点上得到满足。它适用于各种类型的微分方程，其数学概念清晰、简单，便于编制程序，计算精度随差分格式的不同而不同，误差估计、收敛性和稳定性理论趋于成熟和完善，是应用最多和最成功的一种方法。但是，在一般的矩形网格差分计算中，对计算区域复杂的几何边界通常采用阶梯化近似。这种处理方法使模拟边界难以精确而光滑地拟合实际边界，从而给计算精度带来很大影响。为了克服有限差分法的局限性，许多学者正致力于不规则边界处理问题的研究，诸如美国的Thompson.J.F.（1980）等人所提出的边界拟合坐标法、L.谢利曼（1985）所提出的任意网格有限差分法等，都是改善有限差分法性能的有效方法。这些专门技术与有限差分法配套使用，其效果就会更加令人满意了。因此，有限差分法仍是当前流体数值计算中所采用的一种主要方法。

8.1.2 有限单元法

有限单元法采用局部近似的低阶多项式作为试函数，构成包含因变量结点值的代数方程。其优点是：网格划分灵活、易处理不规则的区域边界；缺点是：在误差估计、收敛性和稳定性等方面的研究远不及有限差分法严密和完善。此外，有限单元法所形成的矩阵不总是稀疏的，计算所需的内存多、工作量大。因此，有限单元法目前仍不能较好地解决一些复杂的水流问题，特别是用于紊流的数值计算中尚不成熟，仍处于探索阶段。

数学上可以阐明，有限单元法适用于求解椭圆问题，或抛物、双曲问题中具有椭圆性质的部分。

8.1.3 有限体积法

有限体积法是20世纪70年代由Spalding和Patanker等人所提出和发展起来的一种离散方法。其基本思想是：将计算区域划分成一系列连续但不重叠的控制体积，并使每个控制体积包围一个网格点，将待解的微分方程对一个控制体积积分，得出一组离散方程，其中的未知数是网格点上的因变量φ的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定φ值在网格点之间的变化规律，即设定φ值分段的分布剖面。

有限体积法的基本思想易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量φ在有限的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。

有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域自然也会得到满足。这是有限体积法的显著优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使是在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。正因如此，有限体积法在紊流的数值计算中得到了广泛的应用。

8.1.4 边界单元法

边界单元法是与有限单元法几乎同时发展起来的一类离散方法，早先被称为边界积分方程法，在流体力学中被称作有限奇点法或有限基本解法。其实质是解数学物理方程的格林函数法，据此给出解的积分表达式，再利用定解条件建立边界积分方程。由于所得的边界积分方程通常不可能解析求解，因此利用有限元离散，将其转化为由边界结点上未知量表示的代数方程组，解该代数方程组，便求得边界结点所有的未知值。对于利用直接边界单元法并且仅对边界物理量变化的问题，求解到此为止；对于利用间接边界单元法或对计算域内物理量变化的问题，则应将已求得的边界结点上的未知值同定解条件一起代入解的积分表达式，计算相应的积分，得出问题的数值解。由此可见，边界单元法可以看作格林函数法（或边界积分方程法）与有限元法相结合的产物。边界单元法可以使求解问题的空间维数降低一维，从而使计算工作量与所需内存明显减少，这是边界单元法的最大特点。

边界单元法是计算椭圆性问题的有效方法，但由于需要控制方程的基本解，对于解决复杂的问题（如解完整的N－S方程）尚不成熟，所以还未得到广泛的应用。

8.1.5 有限分析法

有限分析法是美籍华人陈景仁于1980年提出的，其基本思想是将古典解析法纳入偏微分方程的数值解中。首先，将待解问题的总体区域划分成许多小的子区域，在这些子区域上求解析解，然后从局部解析解导出一个代数方程，把子区域上的内结点值与相邻的结点值联系起来汇集成一组代数方程，再加上边界条件，可解出区域内各点的因变量。有限分析法具有明显的自动迎风性质，克服了在高Reynolds数下有限差分数值解容易振荡或发散的缺点，计算稳定性好，收敛速度快。因而，自从有限分析法问世以来，便受到国内外学者的高度重视。在1985年，李炜和吴江航对有限分析法的收敛性和稳定性进行了分析和证明，使有限分析法日益完善。