数值计算方法

卡罗(Monte-Carlo)法、边界元法以及有限分析法等。本节主要介绍常用的有限差分、有限元与有限体积三种方法。

对于一般的偏微分方程,可根据偏微分方程理论,按方程组的数学性质将其分为椭圆型、抛物型和双曲型三种。但对于黏性流体基本方程组(N

数值计算是计算流体力学的重要手段。所有描述流体运动的理论模型,都需要通过一定的数值计算方法来获得物理场的数值结果。在对所建立的数学方程组进行封闭后,加上适当的初始条件和边界条件可构成一个适合的定解问题。如何选取合适的数值计算方法与格式来对定解问题进行数值求解是计算流体力学中的一个重要环节。目前,计算流体力学所采用的主要数值方法有:有限差分法、有限元法、有限体积法、谱方法、摄动法、蒙特--S方程),它具有非常复杂的数学性质,在不同的条件下有不同数学性质的表现,不能用任何一类典型方程来类比与综合其性质,况且这些方程的数学性质,如解的存在性、唯一性、适定性等都还正在进一步研究当中,很难找到一般条件下方程的解析解或精确解。

很多数值方法的求解过程基本相同,主要包括将定解问题的计算区域用网格划分为有限个网格节点,将微分方程通过适当的方法转换成关于这些节点所对应的离散代数方程组。利用初始边界条件,通过对离散方程组进行计算求解,从而得到定解问题在计算求解域上的数值解。众多数值计算方法对同一定解问题的求解区别,主要在于子区域的划分与节点的确定、离散方程的建立及其求解这几个步骤上。

在选用数值计算方法,对定解问题进行离散求解时,不管采用哪种方法,对构造离散方程的格式要求具有相容性和稳定性,其数值解具有收敛性。所谓相容性是指在求解区域的任意点上,离散方程与原微分方程的近似程度。若当定解问题在求解域内的时间与空间步长趋于零时,离散方程充分逼近原微分方程,则称离散方程是相容的。而稳定性则是指求解离散方程时,由某些计算步骤引入的误差在对其后计算过程中的离散误差的影响。如果影响是有界的,则认为离散格式是稳定的。解的收敛性则是指差分方程的解在网格无限小时趋于原微分方程的精确解。

因而在应用计算流体力学进行数值模拟过程中,需在保证相容性的前提条件下,通过选用适当的数值方法对定解问题控制方程组进行离散,对经离散得到的代数方程组还需采取合适的计算方法进行求解,且在求解过程中需满足稳定性条件。计算流体力学中常用的离散方程的求解方法通常可分为两类。一类是直接求解法。当计算无舍入误差影响时,经有限步运算即可求得方程组精确解的方法。如高斯消去法、矩阵分解法等。由于误差的存在,因此直接法得到的解仍是近似的。另一类为迭代法,是一种逐次逼近求解的方法,它把方程组的解作为某种迭代过程的极限。如雅可比(Jacobi)迭代法、高斯(Gauss)-赛德尔(Seidel)迭代法等。

有限差分法　用求解域内网格节点上相应的差分,代替定解问题中数学方程组中的微商,即用差分方程来逼近微分方程,通过求解这些差分的代数方程组来获得所需的数值解。有限差分法是计算数学中十分简便和有效的一种方法,其主要缺点是对不规则区域的适应性较差。

有限元法　有限元法首先由一些飞机结构工程师在20世纪50年代提出,最初主要应用于固体力学中结构的应力分析,20世纪60年代中期开始在流体力学、电磁场等领域中应用,是应用数学的一个重要分支。其优点是对不规则几何区域的适应性好,对事先未知的自由边界或求解区域内部不同介质的交界面,较容易处理,因而比较适用于求解复杂计算区域的流体流动问题。

有限元法将计算区域连续划分成许多离散的网格单元,在网格单元内,将微分方程中的变量,改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于加权余量法或变分原理,将控制微分方程离散成代数方程组进行计算求解。因而有限元法的离散主要由两部分组成:首先是选择恰当的插值函数将局部解离散成与节点值相关联的有限单元,然后利用加权余量法或变分原理建立节点近似解的离散代数方程组。

有限体积法　有限差分法是从微分方程出发来构造离散方程,有限体积法则是以守恒型控制方程为出发点,把计算域分成许多控制容积,并对每个控制容积进行积分来构造离散方程。因而其离散方程能保证整个计算域内质量、动量及能量的守恒性得到精确满足,便于模拟具有复杂边界区域的流体流动,是目前流体工程领域中应用最普遍的一种数值方法。