投影法的概念

项目2　投础

【项目内容】

1．简单形体的三视图。

2．基本几何体及其表面取点的画法。

3．轴测图的画法。

【项目目的】

1．掌握点、线、面的三面投影。

2．掌握简单图形的三视图画法。

3．掌握基本几何体表面取点的方法。

4．掌握轴测图的画法。

【项目实施过程】

任务2.1　简单形体的三视图及其对应关系

2.1.1　投影法的概念

（1）投影的基本知识

1）投影法

物体在阳光或灯光等光线的照射下，就会在墙面或地面上投下影子，投影法就是将这一现象进行科学的抽象，其中，光源称为投射中心S，光线称为投射线SA，SB，墙面或地面称为投影面P，影子称为物体的投影。这种研究空间物体与其投影之间关系的方法，称为投影法，如图2．1所示。

2）投影法分类

投影法的分类如图2．2所示。

图2．1　投影法

图2．2　投影法分类

①中心投影法

投射线从投影中心出发的投影法，称为中心投影法，所得到的投影称为中心投影，如图2．3所示，通过投影中心S作出△ABC在投影面P上的投影：投射线SA，SB，SC分别与投影面P交于点a，b，c，而△abc就是△ABC在投影面P上的投影。

在中心投影法中，△ABC的投影△abc的大小随投影中心S距离△ABC的远近或者△ABC距离投影面P的远近而变化。

②平行投影法

投射线相互平行的投影法，称为平行投影法，所得到的投影称为平行投影。

根据投射线与投影面的相对位置，平行投影法又分为斜投影法和正投影法。

图2．3　中心投影法

A．斜投影法

投射线倾斜于投影面时称为斜投影法，所得到的投影称为斜投影，如图2．4所示。

B．正投影法

投射线垂直于投影面时称为正投影法，所得到的投影称为正投影，如图2．5所示。

图2．4　斜投影法

图2．5　正投影法

（2）正投影的基本特性

正投影的基本特性包括真实性、积聚性和类似性，如图2．6所示。

1）真实性

当直线（或平面）平行于投影面时，其投影反映实长（或实形），这种投影特性称为真实性。

2）积聚性

当直线（或平面）垂直于投影面时，其投影积聚成点（或直线），这种投影特性称为积聚性。

3）类似性

当直线或平面既不平行也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直线，但长度缩短；平面的投影是原图形的类似形（与原图形边数相同，平行线段的投影仍然平行），但投影面积变小。这种投影特性称为类似性。

图2．6　正投影的特性

2.1.2　点的投影

（1）点的三面投影及投影规律

点的投影仍为一点，且空间点在一个投影面上有唯一的投影。但已知点的一个投影，不能唯一确定点的空间位置。

将点A放在三投影面体系中分别向3个投影面V面、H面、W面作正投影，得到点A的水平投影a、正面投影a′、侧面投影a″（关于空间点及其投影的标记规定为空间点用大写字母A，B，C，…表示，水平投影相应用a，b，c，…表示，正面投影相应用a′，b′，c′，…表示，侧面投影相应用a″，b″，c″，…表示）。

将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保留投影轴，便得到点A的三面投影图。

由如图2．7所示可以得出点在三投影面体系的投影规律如下：

①点A的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX（长对正）。

②点A的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ（高平齐）。

③点A的H面投影到OX轴的距离等于点A的W面投影到OZ轴的距离，即aax＝a″az（宽相等），可以用圆弧或45°线来反映该关系。

图2．7　点的投影及其投影规律

（2）点的三面投影与其直角坐标的关系

水平投影由X与Y坐标确定；正面投影由X与Z坐标确定；侧面投影由Y与Z坐标确定（见图2．7）。点的任何两个投影可反映点的3个坐标，即确定该点的空间位置。空间点在三面投影体系中有唯一确定的一组投影。

（3）点的轴测投影

点的轴测投影图即根据点的投影图绘制的直观图。可把投影面当作坐标面，把投影轴当作坐标轴，这时O点即为坐标原点。

规定X轴从O点向左为正，Y轴从O点向前为正，Z轴从O点向上为正。X（Y，Z）坐标用A点到W（V，H）面的距离表示。

（4）两点的相对位置

在投影图上判断空间两个点的相对位置，就是分析两点之间上下、左右和前后的关系，如图2．8所示。

图2．8　两点的相对位置

由正面投影或侧面投影判断上下关系（Z坐标差）。

由正面投影或水平投影判断左右关系（X坐标差）。

由水平投影或侧面投影判断前后关系（Y坐标差）。

（5）重影点及其投影的可见性

当空间两点位于某一投影面的同上条投射线（即其有两对坐标值分别相等），则此两点在该投影面上的投影重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。为区分重影点的可见性，规定观察方向与投影面的投射方向一致，即对V面由前向后，对H面由上向下，对W面由左向右。因此，距观察者近的点的投影为可见，反之为不可见。如图2．9所示，空间两点A，B属于对V面的一条投射线，则点A，B称为W面的重影点，由于点B距离观察者近，故其水平投影重合点为b′（a′）。

2.1.3　直线的投影

（1）直线的投影图

作直线投影图，只需作出直线上任意两点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影即可。

三投影面体系中，空间形体距投影面的远近不影响投影的形状大小，故不画投影图。

空间直线在某一投影面上的投影长度，与直线对该投影面的倾角大小有关。

图2．9　重影点

（2）各种位置直线的投影特性

按照直线对三投影面的相对位置，可以将直线分为以下3种：

①一般位置直线。与三投影面都倾斜的直线。

②投影面平行线。平行于一个投影面，倾斜于另两投影面的直线。

③投影面垂直线。垂直于一个投影面，平行于另两投影面的直线。

投影面平行线和投影面垂直线又称为特殊位置直线。

1）一般位置直线

一般位置直线的投影特性如下（见图2．10）：

①三面投影都倾斜于投影轴。

②投影长度均比实长短，且不能反映与投影面倾角的真实大小。

图2．10　一般位置直线及其三面投影

2）投影面平行线

投影面平行线又可分以下3种：

①平行于V面的直线称为正平线。

②平行于H面的直线称为水平线。

③平行于W面的直线称为侧平线。

投影特性：在它所不平行的两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，不反映实长；在它所平行的投影面上的投影反映实长，其与投影轴的夹角，分别反映该直线对另两投影面的真实倾角。投影面平行线的投影特性见表2．1。

3）投影面垂直线

投影面垂直线同样可分为以下3种：

①垂直于正面的直线称为正垂线。

②垂直于水平面的直线称为铅垂线。

③垂直于侧面的直线称为侧垂线。

投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；在另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，反映实长。

表2．1　投影面平行线的投影特性

（3）直线上的点

点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线的两线段长度之比等于其投影长度之比。

如图2．11（a）所示，除了用侧面投影判断M点不在直线AB上之外，还可用分割线段成定比的方法来判断。因a′m′∶m′b′≠am∶mb，故点M不在AB上，如图2．11（b）所示。

图2．11　点与直线的位置关系

（4）两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉3种。

两直线平行：其同面投影必平行，且两平行线段长度之比等于其投影长度之比。注意：当直线为某投影面平行线时，应检查在该投影面上的投影是否平行。

两直线相交：其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。

两直线交叉：两直线异面。

直线位置关系的判断如图2．12所示。

图2．12　直线位置关系的判断

2.1.4　面的投影

（1）平面的表示法

由几何学可知，平面可由下列几何元素确定：不在同一条直线上的3点；一直线及直线外一点；两相交直线；两平行直线；任意的平面图形。

（2）各种位置平面的投影特性

平面对投影面的位置有以下3种：

①一般位置平面。与3个投影面都倾斜的平面。

②投影面垂直面。垂直于1个投影面，与另外两个投影面倾斜的平面。

③投影面平行面。平行于1个投影面，垂直于另两个投影面的平面。

1）一般位置平面

倾斜于V，H，W面，是一般位置平面。

一般位置的平面的投影特性：它的3个投影仍是平面图形，而且面积缩小，平面与三个投影面的倾角也不能在投影上反映出来。一般位置平面的投影如图2．13所示。

图2．13　一般位置平面的投影

2）投影面垂直面

投影面垂直面可分为以下3种：

①垂直于V面的平面称为正垂面。

②垂直于H面的平面称为铅垂面。

③垂直于W面的平面称为侧垂面。

投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，此投影与相应投影轴的夹角分别反映该平面与另两个投影面的倾角；该平面在另两个投影面上的投影均为类似形。

判定：若平面的3个投影中有一个投影是斜直线，则它一定是该投影面的垂直面。

投影面垂直面的投影特性见表2．2。

表2．2　投影面垂直面的投影特性

续表

3）投影面平行面

投影面平行面又可分为以下3种：

①平行于V面的平面称为正平面。

②平行于H面的平面称为水平面。

③平行于W面的平面称为侧平面。

投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影都积聚成直线且平行于相应的投影轴。

判定：若平面的3个投影中有一个投影积聚成直线，并与该投影面的投影轴平行或垂直，则它一定是某个投影面的平行面。

投影面平行面的投影特性见表2．3。

小结：

平面垂直于投影面时，它的投影积聚成一条直线———积聚性。

平面平行于投影面时，它的投影反映实形———实形性（真实性）。

平面倾斜于投影面时，它的投影为类似图形———类似性。

平面图形的3个投影中，至少有一个投影是封闭线框；反之，投影图上的一个封闭线框一般表示空间的一个面的投影。

表2．3　投影面平行面的投影特性

（3）平面上的投影面平行线

平面上的投影面平行线有3种：即平面上的水平线、正平线和侧平线。它们的投影具有两重性，既符合线在面上的几何条件，又具有投影面平行线的投影特性。

如图2．14（a）所示，在△ABC上作一条水平线AD。作图步骤如下：

①过a′作一直线a′d′∥OX，交b′c′于d′。

②在bc上求出D的水平投影d。

③连接ad，则AD＝ad，AD即为△ABC上过A点的一条水平线，如图2．14（b）所示。

同理，在△ABC上可作正平线和侧平线。

例2．1　已知△ABC内一点K的水平投影k，试求其正面投影k′（已知条件见图2．15（a））。

图2．14　平面上的投影面平行线（水平线）的投影

图2．15　求K点的正面投影

分析：点K既然在平面内，则必在平面内的一条直线上。因此，过点K的水平投影k，任作直线，求出此线的正面投影k′。

解法1（见图2．15（b））：

过平面内两已知点作辅助线，求点的投影。

连ck，交ab于d点，求出c′d′，在c′d′上求出k′。

解法2（见图2．15（c））：

过平面内一已知点，作平面内已知直线的平行线，求点的投影。

过k作mn∥ab，由m求m′，过m′作m′n′∥a′b′，在m′n′上求出k′。

解法3（见图2．15（d））：

过平面内一已知点，作投影面平行线，再求点的投影。

过k作ef∥OX（EF为平面内的一条正平线），再求出e′f′，则k′必在正平线的正面投影e′f′上。

任务2.2　三视图画法

根据有关标准和规定，用正投影法绘制出的物体的图形，称为视图。一个视图一般只能反映出物体一个方向的形状，为了完整地表达物体的形状，常采用从几个不同方向进行投射的多面正投影图，如图2．16—图2．19所示。

图2．16视图的形成

图2．17　一个正投影不能完全确定物体的形状和大小

图2．18　二视图

图2．19　三视图

（1）三视图的形成

1）三投影面体系的建立

用3个互相垂直的投影面构成一个三投影面体系，3个投影面分别为正立投影面，用V表示；水平投影面，用H表示；侧立投影面，用W表示。3个投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX，OY，OZ表示，如图2．20所示。

图2．20　三面投影体系

2）三视图的形成

将物体置于三投影面体系中，按正投影法分别向3个投影面投射，其V面投影称为主视图，H面投影称为俯视图，W面投影称为左视图，如图2．21所示。

3）三投影面的展开

图2．21　三视图的形成

为了把物体的三面投影画在同一平面上，规定V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向后旋转90°，与V面处在同一平面上。由于视图的形状和物体与投影面之间的距离无关，因此，图样上通常不画投影轴和投影面的边框，如图2．22所示。

图2．22　三视图的展开

（2）三视图的投影关系

X方向：作为度量物体长度的方向。

Y方向：作为度量物体宽度的方向。

Z方向：作为度量物体高度的方向。

三视图的投影关系如图2．23所示。

图2．23　三视图的“三等”关系

（3）三视图与物体方位的对应关系

主视图反映物体上下、左右的位置关系，即反映物体的高度和长度；俯视图反映物体左右、前后的位置关系，即反映物体的长度和宽度；左视图反映物体上下、前后的位置关系，即反映物体的高度和宽度。由此可得到三视图之间的对应关系：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，如图2．24所示。

“长对正、高平齐、宽相等”是画图和读图必须遵循的最基本的投影规律。应用这个规律作图时，要注意物体的上、下、左、右、前、后6个方位与视图的关系。如俯视图的下面和左视图右面都反映物体的前面，俯视图的上面和左视图的左面都反映物体的后面，即“远离主视为前”。因此，在俯、左视图上量取宽度时，要特别注意量取的起点和方位。

图2．24　三视图间的方位关系

任务2.3　基本几何体表面取点和线

机器上的零件，不论形状多么复杂，都可以看作是由基本几何体按照不同的方式组合而成的。基本几何体———表面规则而单一的几何体。按其表面性质，可分为平面立体和曲面立体两类。

①平面立体。立体表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。

②曲面立体。立体表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如圆柱、圆锥、圆球等。曲面立体也称为回转体。

2.3.1　平面立体的投影及表面取点

（1）棱柱

棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。本节仅讨论正棱柱的投影。

1）棱柱的投影

以正六棱柱为例。如图2．25（a）所示为一正六棱柱，由上下两个底面（正六边形）和6个棱面（长方形）组成。设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面。

上下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。6个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。其他4个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。边画图边讲解作图方法与步骤。

总结正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。

2）棱柱表面上点的投影

方法：利用点所在的面的积聚性法（因为正棱柱的各个面均为特殊位置面，均具有积聚性）。

平面立体表面上取点实际就是在平面上取点。首先应确定点位于立体的哪个平面上，并分析该平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。

图2．25　正六棱柱的投影及表面上的点

举例：如图2．25（b）所示，已知棱柱表面上点M的正面投影m′，求作它的其他两面投影m，m″。因为m′可见，故点M必在面ABCD上。此棱面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，故点M的水平投影m必在此直线上；再根据m，m′可求出m″。由于ABCD的侧面投影为可见，故m″也为可见。

（2）棱锥

1）棱锥的投影

以正三棱锥为例。如图2．26（a）所示为一正三棱锥，它的表面由一个底面（正三边形）和3个侧棱面（等腰三角形）围成，设将其放置成底面与水平投影面平行，并有一个棱面垂直于侧投影面。

图2．26　正三棱锥的投影及表面上的点

由于锥底面△ABC为水平面，所以它的水平投影反映实形，正面投影和侧面投影分别积聚为直线段a′b′c′和a″（c″）b″。棱面△SAC为侧垂面，它的侧面投影积聚为一段斜线s″a″（c″），正面投影和水平投影为类似形△s′a′c′和△sac，前者为不可见，后者可见。棱面△SAB和△SBC均为一般位置平面，它们的三面投影均为类似形。

棱线SB为侧平线，棱线SA，SC为一般位置直线，棱线AC为侧垂线，棱线AB，BC为水平线。边画图边讲解作图方法与步骤。

总结正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行某一个投影面时，则棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的三角形线框所组成。

2）棱锥表面上点的投影

方法1：利用点所在的面的积聚性法。

方法2：辅助线法。

首先确定点位于棱锥的哪个平面上，再分析该平面的投影特性。若该平面为特殊位置平面，可利用投影的积聚性直接求得点的投影；若该平面为一般位置平面，可通过辅助线法求得。

举例：如图2．26（b）所示，已知正三棱锥表面上点M的正面投影m′和点N的水平面投影n，求作M，N两点的其余投影。

因为m′可见，因此点M必定在△SAB上。△SAB是一般位置平面，采用辅助线法，过点M及锥顶点S作一条直线SK，与底边AB交于点K。图2．26（b）中即过m′作s′k′，再作出其水平投影sk。由于点M属于直线SK，根据点在直线上的从属性质可知m必在sk上，求出水平投影m，再根据m，m′可求出m″。

因为点N不可见，故点N必定在棱面△SAC上。棱面△SAC为侧垂面，它的侧面投影积聚为直线段s″a″（c″），因此，n″必在s″a″（c″）上，由n，n″即可求出n′。

2.3.2　曲面立体的投影及表面取点

曲面立体的曲面是由一条母线（直线或曲线）绕定轴回转而形成的。在投影图上表示曲面立体就是把围成立体的回转面或平面与回转轴表示出来。

（1）圆柱

圆柱表面由圆柱面和两底面所围成。圆柱面可看作一条直母线AB围绕与它平行的轴线OO1回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。

1）圆柱的投影

画图时，一般常使它的轴线垂直于某个投影面。

举例：如图2．27（a）所示，圆柱的轴线垂直于侧面，圆柱面上所有素线都是侧垂线，因此，圆柱面的侧面投影积聚成为一个圆。圆柱左、右两个底面的侧面投影反映实形并与该圆重合。两条相互垂直的点画线，表示确定圆心的对称中心线。圆柱面的正面投影是一个矩形，是圆柱面前半部与后半部的重合投影，其左右两边分别为左右两底面的积聚性投影，上、下两边a′a′1，b′b′1分别是圆柱最上、最下素线的投影。最上、最下两条素线AA1，BB1是圆柱面由前向后的转向线，是正面投影中可见的前半圆柱面和不可见的后半圆柱面的分界线，也称为正面投影的转向轮廓素线。同理，可对水平投影中的矩形进行类似的分析。边画图边讲解作图方法与步骤。

总结圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直某一个投影面时，必有一个投影为圆形，另外两个投影为全等的矩形。

图2．27　圆柱的投影及表面上的点

2）圆柱面上点的投影

方法：利用点所在的面的积聚性法（因为圆柱的圆柱面和两底面均至少有一个投影具有积聚性）。

举例：如图2．27（b）所示，已知圆柱面上点M的正面投影m′，求作点M的其余两个投影。因为圆柱面的投影具有积聚性，圆柱面上点的侧面投影一定重影在圆周上。又因为m′可见，故点M必在前半圆柱面的上边，由m′求得m″，再由m′和m″求得m。

（2）圆锥

圆锥表面由圆锥面和底面所围成。如图2．28（a）所示，圆锥面可看作是一条直母线SA围绕它的轴线SO回转而成。在圆锥面上通过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。

图2．28　圆锥的投影

1）圆锥的投影

画圆锥面的投影时，也常使它的轴线垂直于某一投影面。

举例：如图2．28（a）所示圆锥的轴线是铅垂线，底面是水平面，如图2．28（b）所示是它的投影图。圆锥的水平投影为一个圆，反映底面的实形，同时也表示圆锥面的投影。圆锥的正面、侧面投影均为等腰三角形，其底边均为圆锥底面的积聚投影。正面投影中三角形的两腰s′a′，s′c′分别表示圆锥面最左、最右轮廓素线SA，SC的投影，它们是圆锥面正面投影可见与不可见的分界线。SA，SC的水平投影sa，sc和横向中心线重合，侧面投影s″a″（c″）与轴线重合。同理，可对侧面投影中三角形的两腰进行类似的分析。边画图边讲解作图方法与步骤。

总结圆锥的投影特征：当圆锥的轴线垂直某一个投影面时，则圆锥在该投影面上投影为与其底面全等的圆形，另外两个投影为全等的等腰三角形。

2）圆锥面上点的投影

已知圆锥表面上M的正面投影m′，求作点M的其余两个投影。因为m′可见，所以M必在前半个圆锥面的左边，故可判定点M的另两面投影均为可见。作图方法有以下两种：

方法1：辅助线法。如图2．29（a）所示。

图2．29　用辅助线法在圆锥面上取点

过锥顶S和M作一直线SA，与底面交于点A。点M的各个投影必在此SA的相应投影上。如图2．29（b）所示过m′作s′a′，然后求出其水平投影sa。由于点M属于直线SA，根据点在直线上的从属性质可知m必在sa上，求出水平投影m，再根据m，m′可求出m″。边画图边讲解作图方法与步骤。

方法2：辅助圆法。如图2．30（a）所示。

图2．30　用辅助圆法在圆锥面上取点

过圆锥面上点M作一垂直于圆锥轴线的辅助圆，点M的各个投影必在此辅助圆的相应投影上。如图2．30（b）所示过m′作水平线a′b′，此为辅助圆的正面投影积聚线。辅助圆的水平投影为一直径等于a′b′的圆，圆心为s，由m′向下引垂线与此圆相交，且根据点M的可见性，即可求出m；然后再由m′和m可求出m″。边画图边讲解作图方法与步骤。

（3）圆球

圆球的表面是球面，圆球面可看作是一条圆母线绕通过其圆心的轴线回转而成。

1）圆球的投影

如图2．31（a）所示为圆球的立体图，如图2．31（b）所示为圆球的投影。

图2．31　圆球的投影

圆球在3个投影面上的投影都是直径相等的圆，但这3个圆分别表示3个不同方向的圆球面轮廓素线的投影。正面投影的圆是平行于V面的圆素线A（它是前面可见半球与后面不可见半球的分界线）的投影。与此类似，侧面投影的圆是平行于W面的圆素线C的投影；水平投影的圆是平行于H面的圆素线B的投影。这3条圆素线的其他两面投影，都与相应圆的中心线重合，不应画出。边画图边讲解作图方法与步骤。

2）圆球面上点的投影

方法：辅助圆法。圆球面的投影没有积聚性，求作其表面上点的投影需采用辅助圆法，即过该点在球面上作一个平行于任一投影面的辅助圆。

举例：如图2．32（a）所示，已知球面上点M的水平投影，求作其余两个投影。过点M作一平行于正面的辅助圆，它的水平投影为过m的直线ab，正面投影为直径等于ab长度的圆。自m向上引垂线，在正面投影上与辅助圆相交于两点。又由于m可见，故点M必在上半个圆周上，据此可确定位置偏上的点即为m′，再由m，m′可求出m″，如图2．32（b）所示。

图2．32　圆球面上点的投影

任务2.4　轴测图

2.4.1　轴测图的基本知识

（1）基本概念

由于三视图缺乏立体感，不够直观，有时就需要用轴测图来表达零件的形状结构。

轴测图：将零件相对于3个投影面倾斜放置，然后向投影面投影得到的图形。由于可同时看到长、宽、高3个方向的形体特征，因而具有三维立体感，比较直观易懂。

轴测轴：轴测投影中直角坐标轴OX，OY，OZ在轴测投影面上的投影O1X1，O1Y1，O1Z1。

轴间角：轴测投影中，任意两根轴测轴之间的夹角称为轴间角。

轴向伸缩系数：轴测轴上单位长度与相应直角坐标轴上的单位长度比值。把伸缩系数简化，分别用p，q，r表示。

轴测图分类：两类轴测图为正等轴测图、斜二轴测图。

三视图和轴测图如图2．33所示。

图2．33　三视图和轴测图

（2）轴测图的形成

1）正等轴测图

改变物体和投影面的相对位置，使物体的正面、顶面和侧面与投影面都处于倾斜位置，用正投影法作出物体的投影。正方体的正等轴测图如图2．34所示。

图2．34　正方体的正等轴测图

2）斜二轴测图

不改变物体与投影面的相对位置。长方体的斜二轴测图如图2．35所示。

图2．35　长方体的斜二轴测图

（3）两个基本概念和一条基本规律

1）轴测轴和轴间角

建立在物体上的坐标轴在投影面上的投影称为轴测轴，轴测轴间的夹角称为轴间角。

坐标轴：物体上　OX，OY，OZ。

轴测轴：投影面上　O1X1，O1Y1，O1Z1轴。

轴间角：∠X1O1Y1，∠X1O1Z1，∠Y1O1Z1。

2）轴向变形系数（伸缩系数）

物体上平行于坐标轴的线段在轴测图上的长度与实际长度之比称为轴向变形系数。

（X轴轴向变形系数）

（Y轴轴向变形系数）

（Z轴轴向变形系数）

轴测图与轴向变形系数的关系如图2．36所示。

图2．36　轴测图与轴向变形系数的关系

3）平行性规律

在原物体与轴测投影间保持以下关系：

两直线平行，它们的轴测投影也平行。

两平行线段的轴测投影长度与空间长度的比值相等。

物体上与坐标轴平行的直线，其轴测投影平行于相应的轴测轴。

凡是与坐标轴平行的直线，就可以在轴测图上沿轴向进行度量和作图。

2.4.2　正等轴测图

（1）轴向变形系数及轴间角

正等轴测图轴间角、轴向变形系数如图2．37、图2．38所示。

图2．37　正等轴测图轴间角

图2．38　正等轴测图轴向变形系数

（2）平面立体正等轴测图的画法

绘制平面立体轴测图的方法，有坐标法、切割法和组合法等。现主要介绍前两种。

1）坐标法

根据立体表面上各顶点的坐标，分别画出它们的轴测投影，然后依次连接成立体表面的轮廓线。坐标法是绘制轴测图的基本方法，如图2．39所示。

图2．39　坐标法画平面立体正等轴测图

例2．2　根据正六棱柱的投影图，画出正六棱柱的正等轴测图。

作图：

①在投影图上选定坐标原点和坐标轴，如图2．39（a）所示。

②画出轴测轴，如图2．39（b）所示。

③根据顶面各点坐标，在X1O1Y1坐标面上定出顶面11，21，31，41，51，61点的位置，如图2．39（c）所示。

④连接上述各点得出顶面投影，由各顶点向下作Z1轴的平行线，并根据六棱柱高度在平行线上截得棱线长度，同时也定出了底面各可见点的位置（轴测图一般不画不可见部分的轮廓），如图2．39（d）所示。

⑤连接底面各点，得出底面投影，整理加深，完成作图，如图2．39（e）所示。

2）切割法

适用于带切口的平面立体，它以坐标法为基础，先用坐标法画出完整平面立体的轴测图，然后用切割的方法逐步画出各个切口部分，如图2．40所示。

图2．40　切割法绘制立体正等轴测图

这两种方法不但适用于平面立体，而且适用于曲面立体；不但适用于正等轴测图，而且适用于其他轴测图。

例2．3　作出如图2．40所示立体的正等轴测图。

从图2．40投影图分析可知，该立体是由切去左上方的四棱柱、右前方的三棱柱和左下端方槽后形成的。绘图时先用坐标法画出长方形箱体，然后逐步切去各个部分，绘图步骤如图2．40所示。

①选坐标。

②画长方体。

③切去左端上部四棱柱。

④切去右前部三棱柱。

⑤切去左端四棱柱。

⑥整理、完成全图。

（3）曲面立体正等轴测图的画法

曲面立体表面除了直线轮廓外，还有曲线轮廓线。曲线轮廓线通常是圆和圆弧。要画曲面立体的轴测图必须研究圆和圆弧的轴测图。

1）平行于坐标面的圆的正等轴测图

根据正等轴测图的形成原理可知，平行于坐标面的圆的正等轴测图是椭圆。如图2．41所示为按简化伸缩系数绘制的分别平行于XOY，XOZ和YOZ3个坐标面的圆的正等轴测投影。这3个圆可视为处于同一个立方体的3个不同方位的表面上，对该图分析后不难得出如下结论：

图2．41　平行于坐标面的圆的正等轴测图

直径相同、平行于坐标面的圆的正等轴测椭圆的形状和大小完全相同。

椭圆的方位因不同的坐标面而不同，其中椭圆的长轴垂直于与圆平面相垂直的坐标轴的轴测投影（轴测轴），而短轴则平行于这条轴测轴。如平行于XOY坐标面圆的正等轴测椭圆的长轴垂直于Z1轴，而短轴则与Z1轴平行。

绘图时，为简化作图，通常采用4段圆弧连接成近似椭圆的作图方法。如图2．42所示，以XOY坐标面上的圆为图2．41平行于坐标面的圆的正等轴测图为例，说明这种近似画法的作图步骤。

图2．42　圆的正等轴测图近似画法

2）画法举例

例2．4　作圆柱体的正等轴测图，如图2．43所示。

从图2．43投影图可知，圆柱体的轴线为铅垂线，顶圆、底圆都是水平圆，可取顶圆的圆心为原点，选取如图2．43（a）所示的坐标轴。用近似法画出顶圆轴测投影椭圆后，可将绘制该椭圆各段圆弧的圆心沿Z1轴向下移动一个柱高的距离，就可得到绘制下底椭圆的各段圆弧的圆心位置，如图2．43（b）所示。判别可见性后，只画出底圆可见部分的轮廓，如图2．43（c）所示。

图2．43　圆柱体的正等轴测图

2.4.3　斜二测轴测图

由于XOZ坐标面平行于轴测投影面，所以轴测轴O1X1和O1Z1，仍分别为水平方向和垂直方向，其轴向伸缩系数为p＝r＝1；与水平线成45°方向的O1Y1轴，其轴向伸缩系数q为0．5。将物体连同确定其空间位置的直角坐标系，用斜投影的方法投射到与XOZ坐标面平行的轴测投影面上，所得到的轴测投影图称斜二测轴测图，简称斜二测。

斜二测中轴测轴的位置如图2．44所示。由于斜二测中XOZ坐标面平行于轴测投影面以物体上平行于该坐标面的图形均反映实形。如果这个图形上的圆或圆弧较多，作图较方便。因此，当物体仅在某一方向上有圆或圆弧时，常采用斜二测轴测图来表达。

图2．44　斜二测的轴测图

例2．5　作出如图2．45（a）所示零件的斜二测轴测图

作图：

①在投影图上选定坐标原点和坐标轴，如图2．45（a）所示。

②画出轴测轴，按原形画出位置最前的平面，沿Y轴取原长一半定后两层反映实形的平面，确定圆心1，2的位置，如图2．45（b）所示。

③作出各层反映实形的平面，连接（注意圆柱的轮廓线），如图2．45（c）所示。

④擦去不可见部分的轮廓，加深，如图2．45（d）所示。

图2．45　斜二测轴测图的画法

2.4.4　轴测图草图的画法

轴测图具有直观效果，有助于我们尽快了解物体的结构形状，平时工作、学习中经常用到。但正规的轴测图的绘制较为费时，因此，在表达设计思想、帮助空间想象时可画轴测草图来迅速获得空间形状的模型。在学习投影与制图过程中，画轴测草图可帮助学习者准确理解投影关系和零件的形状，培养空间想象能力；在产品开发设计、技术交流与介绍过程中，也经常用轴测草图来表达设计思想。因此掌握轴测草图的绘图是每个机械工程技术人员必备的能力。

绘制轴测草图的过程中，为使图形结构不失真，准确地表达出零件结构和设计思想，力求做到以下3点：

①把握好X，Y，Z轴各方向的尺寸大致比例，沿轴向的尺寸不一定按平面投影的实际尺寸1∶1，正等轴测草图各轴向尺寸比例尽量相等，斜二测草图的Y轴方向的尺寸比例为其余两轴的一半。这样才能使整体的形状保持较好的稳定性。

②平行的直线要确保平行或近似平行，保证各基本体的形状和各基本体间的叠加、挖切的位置表达清楚。

③轴测草图的圆的绘制原理参照图2．41、图2．42绘制，投影为椭圆的，要画外接正方形，确定长短轴的方向。

如图2．46所示为轴测草图绘制示例：

图2．46　轴测草图的画法

①定坐标原点和坐标轴，利用方箱的叠加或切割构造基本形体，如图2．46（a）所示。

②确定圆形要素的位置并用菱形法绘出其基本轴测投影，如图2．46（b）所示。

③切割其余细节结构，如图2．46（c）所示。

④擦去多余的线，加深，如图2．46（d）所示。