综合问题解题举例

2.6　综合问题解题举例

前面我们所讨论的都是单一问题，如平行、相交、垂直等。在实际工作中，很多问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种方法才能解决。

求解这类综合性的问题，首先要弄清题意，明确已知条件和求解的关系。然后根据几何知识进行空间分析，将复杂问题分解为简单问题的组合，制订出解题的方法与步骤，再在投影图上作出结果。下面举几个例子，介绍在解决问题时，如何综合运用这些方法和步骤，希望读者能从中得到启发，为今后解决实际工作中遇到的有关问题打下基础。

例2-23　求过K点作直线KL与△ABC平行，并与直线EF相交，如图2-61（a）所示。

图2-61　作直线平行于已知平面并与已知直线相交

分析　过K点作与△ABC平行的直线有无数条，其总和应是一平行于△ABC的平面P，如图2-61（b）所示，所求直线KL既与EF相交，又要在P平面内。直线EF与平面P只有一个交点K，它既属于EF又在平面P内，KL就是所求的唯一直线。

作图

（1）过K点作一平行于△ABC的平面（作相交直线，m′k′//a′c′、mk//ac、n′k′//a′b′、nk//ab）。

（2）求直线EF与直线KM和KN所确定平面的交点。因该平面为一般位置平面，所以过直线EF作一辅助平面PV（正垂面），求得交点L（l、l′）。

（3）连接点K（k、k′）和L（l、l′），直线KL即为所求，如图2-61（c）所示。

例2-24　已知A点到△BCD的距离为10mm，求a，如图2-62（a）所示。

分析　包含A点作一平面平行于平面△BCD，使两平行平面的距离为10mm，可求出点A的水平投影。

图2-62　求点的投影

作图

（1）在△BCD内作一正平线BE（be、b′e′）和一水平线BF（bf、b′f′）。

（2）作一直线BG，使其垂直于△BCD，即b′g′⊥b′e′、bg⊥bf。

（3）用直角三角形法求BG的实长，如图2-62（b）、（c）所示。BG为实长，由B0开始，从BG中取BH为10mm可得h′、h。

（4）过H作一平面平行于△BCD。

（5）在所作平面内过A点作一直线MN（m′n′、mn），在mn上由a′求出a，如图2-62（b）所示。

例2-25　求作直线AD，使其与直线BC平行，并与两交叉直线EF、GH相交，如图2-63（a）所示。

图2-63　作一直线平行于另一直线且与另外两交叉直线相交

分析　包含直线EF作一与直线BC平行的平面，直线GH和该平面一定相交，可求得直线与该平面的交点，包含交点作直线与BC平行，即可得所求直线。

作图

（1）包含E作EL平行于BC，即e′l′//b′c′、el//bc。

（2）求直线GH与平面△EFL的交点A。为此，包含GH作Q面⊥V面（记作Q_V），求出Q面与平面△EFL的交线IM（im、i′m′），IM与GH交于A（a、a′）。

（3）包含A作AD//EL，使之与EF交于点D，则AD（ad、a′d′）即为所求，如图2-63（b）所示。