几何图形的尺规作图方法

1　制图基本知识

一幢建筑（或其他工程）从无到有主要经历两个重要的过程：设计过程和施工工程。在设计阶段，设计人员按业主（建设单位）提供的有关资料（包括项目所在地的水文、地质、气象等资料及项目的目的与要求等）进行设计创作，并把最终方案以图样（不是文字或其他）的形式提交给业主；在施工阶段，施工人员按业主确定的方案（图样），如实地加以实现、完成。

这样，从设计到施工完成，建设单位（业主）、设计单位（设计人员）和施工单位（施工人员）之间交流的主要资料便是图样，因此，图样被称为“工程界的语言”。既然是通用的语言，就必须遵守一定的“文法”，这个“文法”便是国家制图标准，简称国标，用代号GB/T或GB表示。

本章主要介绍有关建筑制图方面的最新国家标准（GB/T　50103—2010、GB/T　50104—2010和GB/T　50001—2010等）中的有关内容及其他一些制图的基本知识。

1.1　制图基本规定

1.1.1　图纸

1）图纸幅面

图纸幅面是指图纸的大小规格，从A0～A4，其尺寸如表1－1所示。

表1－1　幅面及图框尺寸（mm）

表中字母l和b分别为图纸的长和宽，c为图框线（控制绘图边界的线）与图纸边缘的距离，a为装订边的图框线与图纸边缘的距离。

图纸的样式可分为横式和立式，图纸以短边作为垂直边称为横式，又根据标题栏的位置不同，分两种形式，如图1－1所示；以短边作为水平边称为立式，也分为两种形式，如图1－2所示。一般A0～A3图纸宜横式使用，必要时也可立式使用；A4图纸宜立式使用。

图1－1　A0～A3横式图幅

图1－2　A0～A4立式图幅

2）标题栏

标题栏的内容如表1－2所示。

表1－2　标题栏的内容

一般各设计院都根据自己的习惯有各种不同的样式。学习期间做作业常用的标题栏，无论是横式还是立式，一般都放置在图纸的右下角，内容如图1－3所示。

图1－3　制图作业标题栏格式

1.1.2　图线

制图标准规定，工程建设制图应选用表1－3中所示的图线。

每个图样应先根据形体的复杂程度和比例的大小，确定基本线宽b的大小（即粗线宽度）。b值可以从相应的线宽系列0.13、0.18、0.25、0.35、0.5、0.7、1.0、1.4、2.0mm中选取，常用的b值为0.35～1.0mm。

表1－3　图线

注：对于非专业图样，尺寸线仍然用细实线绘制。

绘制图样时，图线要求做到：全局清晰整齐、均匀一致、粗细分明、交接正确。其基本规定有：

（1）同一张图纸内，相同比例的各图样，应采用相同的线宽组。

（2）相互平行的图线，其间隙不宜小于其中的粗线宽度，且不宜小于0.7mm。

（3）虚线、点画线的线段长度和间隔应均匀。虚线、点画线与其他图线交接时的画法见图1－4所示。

（4）图线不得与文字、数字或符号重叠、混淆，不可避免时，应首先保证文字等的清晰。

图线综合举例：

常用的各种图线画法如图1－5的建筑平面图所示。被剖切到的墙体轮廓用粗实线绘制；未剖切到的台阶、窗台用中粗实线绘制；看不见的轮廓线用中粗虚线表示；定位轴线用细点画线绘制；折断线用作图形的省略画法，采用中实线绘制；尺寸标注时，尺寸线和尺寸界线采用中实线（适用于专业图样），45°的起止符号采用中粗实线绘制；断面材料图例（图案填充线）用45°的细实线绘制。

图1－4　图线画法

图1－5　图线综合举例

1.1.3　文字

工程图中的字体包括汉字、字母、数字和符号等。国标规定工程图中的字体应做到：字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐。

字体高度（h）代表字体的号数，简称字号。国标规定常用的字号系列是：1.8、2.5、3.5、5、7、10、14、20号。

1）汉字

国标规定工程图中的汉字采用长仿宋体，字高与字宽的比例大约为1∶0.7。

书写长仿宋体字的要领是：横平竖直，注意起落，结构均匀，填满方格。如图1－6所示。

图1－6　长仿宋体示例

仿宋体字的基本笔画写法见表1－4所示。

表1－4　仿宋体字的基本笔画写法

2）字母和数字

字母和数字可写成斜体或直体，其中斜体字字头向右倾斜，与水平线基准线成75°角。拉丁字母、罗马数字与阿拉伯数字的写法如图1－7所示（《技术制图——字体》GB/T　14691）。考虑到手写习惯，基本运笔方法可参考图1－8。

图1－7　拉丁字母、罗马数字与阿拉伯数字示例

图1－8　数字和字母的写法

1.1.4　尺寸注法

工程图样中除了画出工程形体的形状外，还必须标注尺寸以确定其大小。

1）尺寸组成图样上的尺寸由尺寸界线 、尺寸线 、尺寸起止符号和尺寸数字四部分组成 （如图1－9（a）所示）。

（1）尺寸界线

尺寸界线应用细实线绘制（专业图样用中实线绘制），一般应与被注长度垂直，其一端应离开图样的轮廓线不小于2mm，另一端宜超出尺寸线2～3mm，如图1－9（a）所示。必要时可利用轮廓线作为尺寸界线（如图1－9中的尺寸240和3070）。

（2）尺寸线

尺寸线线型同尺寸界线，并应与被注长度平行，但不宜超出尺寸界线之外。图样上任何图线都不得用作尺寸线。

（3）尺寸起止符号

尺寸起止符号一般用中粗斜短线绘制，其倾斜方向应与尺寸界线成顺时针45°角，长度宜为2～3mm。半径、直径、角度及弧长的尺寸起止符号，宜用箭头表示，如图1－9（b）所示。

图1－9　尺寸的组成

（4）尺寸数字

国标规定，图样上标注的尺寸，除标高及总平面图以米为单位外，其他均以毫米为单位，图上尺寸数字都不再注写单位。本书文字和插图中的数字，一般没有特别注明单位的，也一律以毫米为单位。图样上的尺寸，应以所注尺寸数字为准，不得从图上直接量取。尺寸数字字头的方向，应按图1－10（a）的规定注写。基本要求是向左或者向上，若尺寸数字在30°斜线区内，宜按图1－10（b）的形式注写。

图1－10　尺寸数字的注写方向

尺寸数字一般应依据其方向注写在靠近尺寸线的上方中部。如没有足够的注写位置，最外边的尺寸数字可注写在尺寸界线的外侧，中间相邻的尺寸数字可错开注写（图1－11）。

图1－11　尺寸数字的注写位置

（5）尺寸标注的主要事项

尺寸宜标注在图样轮廓以外，不宜与图线、文字及符号等相交。

互相平行的尺寸线，应从被注写的图样轮廓线由近向远整齐排列，注意小尺寸在里面，大尺寸在外面。离图样轮廓线最近的尺寸线，其间距不宜小于10mm。尺寸线之间的间距，宜为7～10mm，并应保持一致。

2）半径、直径、角度、弧长和弦长的尺寸注法

标注半径、直径 、角度和弧长时，尺寸起止符号用箭头表示 ，角度标注的尺寸数字一律水平书写，如图1－12所示。

图1－12　半径、直径、角度、弧长和弦长的尺寸注法

1.1.5　比例

图样的比例是指图形中与实物相对应的线性尺寸之比。工程图样中的常用比例为1∶1、2、5×10n（n＝0，1，2，3……），见表1－5所示。

表1－5　绘图所用比例

如果一张图纸上各个图样的比例相同，则比例可集中标注。否则，比例宜注写在图名的右侧，字高宜比图名的字高小1号或2号，如图1－13所示。

图1－13　比例的注写

1.2　绘图工具和仪器的使用

1.2.1　图板和丁字尺

图板用于固定图纸，其大小一般与图纸规格相配套，使用时将图纸的四个角用胶带固定在图板合适的位置，如图1－14所示。丁字尺主要用来和图板配合绘制水平线，或者与三角尺配合绘制竖直线以及30°、45°、60°等斜线。丁字尺由尺头和尺身两部分组成，使用时尺头需与图板的工作边靠紧，上下滑动，利用尺身带刻度一侧绘制一系列的水平线，如图1－15所示。

图1－14　图板与丁字尺

1－15　用丁字尺画水平线

1.2.2　三角尺

一副三角尺由两块组成，一块是30°、60°角，一块是45°角，与丁字尺配合可以绘制竖直线以及30°、45°、60°等15°角整数倍的斜线。两个三角尺组合还可以画任意方向的平行线和垂直线。如图1－16和图1－17所示。

图1－16　用丁字尺和三角尺画竖直线

图1－17　三角尺的用法

1.2.3　铅笔

绘图使用的铅笔型号分为3种，一种是画底稿时使用的笔芯较硬的铅笔，如H、2H等，画出的线颜色较淡，易擦除；一种是加深描粗图线时使用的笔芯较软的铅笔，如B、2B等，画出的线颜色较深（黑）；另一种介于软、硬之间的为HB，常用于写字。

打底稿的铅笔笔芯应削成锥形（如图1－18（a）上），并在画线过程中不断旋转，以保持图线均匀；加深描粗的铅笔笔芯宜削成扁平状，宽度与加深的线宽一致（如图1－18（a）下）。

画线时铅笔的姿势如图1－18（b）所示，正面看与图纸成60°～70°角，侧面看与图纸垂直。

图1－18　铅笔用法

1.2.4　圆规和分规

圆规主要用来绘制圆或圆弧。圆规的脚一般有针尖、铅芯、鸭嘴等，可替换使用。画圆时，使用铅芯脚和带有针肩的针尖脚，铅芯应磨削成65°左右的斜面（如图1－19（a）），将针尖固定在圆心上，使铅芯脚与针尖长度对齐，按顺时针方向，并稍向前进方向倾斜，一次旋转完成（如图1－19（b））。画较大圆时，则应使圆规的两脚都与纸面垂直，如图1－19（c）所示。

图1－19　圆规及其用法

圆规的两个脚都是针尖时便是分规，主要用于截取长度或等分线段（如图1－20）。

图1－20　分规的用法

1.2.5　曲线板和比例尺

曲线板主要用于绘制非圆曲线。曲线板的使用方法如图1－21所示，先定出曲线上的若干点，并徒手将各点轻轻连成曲线，然后找出曲线板上与曲线上3～4个点曲度大概一致的一段，沿曲线板将曲线描深，不断重复直至曲线绘制完成。为了保证每段曲线间的光滑过渡，前后两段曲线应至少有1～2个点的重合。

比例尺主要用来量取不同比例时的长度，一般为三棱柱状，如图1－22所示，共有6种不同比例的刻度。画图时可按所需比例，用比例尺上相应的刻度直接量取距离，不需再做换算。

图1－21　曲线板的用法

图1－22　比例尺

1.3　几何图形的尺规作图方法

1.3.1　等分线段

如图1－23所示，将已知线段AB五等分。先过某一端点A作任意直线AC，并在AC上任作5个等分线段1、2、3、4、5，连接B5，然后过AC上的1、2、3、4四个等分点作B5的平行线，交于AB上4个等分点，即为所求。

图1－23　等分线段

1.3.2　正多边形的画法

这里以正七边形为例，介绍圆内接任意正多边形的通用近似画法。如图1－24所示。

（1）先将圆的竖向直径AB七等分，得等分点1、2、3、4、5、6。

（2）以点A为圆心，AB为半径画弧，交水平直径延长线于E、F两点。

（3）将E、F点与AB上的偶数点（2、4、6）相连并延长，与圆周相交于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ点。

（4）顺次连接A、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ各点，即可作出正七边形。

注：如果正多边形为偶数边，那么上述第（3）步就改为连接奇数点。

图1－24　圆内接正七边形的画法

1.3.3　圆弧连接

用圆弧连接已知图形的关键是求出连接圆弧圆心和连接点的位置。各种圆弧连接的作图步骤见表1－6所示。

表1－6　圆弧连接的作图方法

续表1－6

1.3.4　平面图形的画法

1）平面图形的尺寸分析

平面图形中的尺寸是确定其大小和形状的必要要素，按其作用可分为定形尺寸和定位尺寸两种。（1）定形尺寸

确定平面图形中线段的长度、圆的直径或半径，以及角度大小等的尺寸称为定形尺寸 。如图1－25（a）中，48、10是确定线段长度的尺寸，R13、φ12、R8等是确定圆弧半径大小的尺寸，都是定形尺寸。

（2）定位尺寸

确定平面图形中各部分之间相对位置的尺寸称为定位尺寸。定位尺寸应以尺寸基准作为标注尺寸的起点。平面图形中应有长度和宽度两个方向的尺寸基准。通常以图形的对称线、中心线或较长的直轮廓线作为尺寸基准。如图1－25（a）中，长度方向以左边φ12圆的竖向中心线为基准，宽度方向以线段48为基准，而4、40和18即为相应圆圆心的定位尺寸。

2）平面图形的线段分析

平面图形是由若干条线段（直线段或曲线段）连接而成的，作图时，需要先对图形进行分析，确定线段绘制的先后顺序。

平面图形中的线段按给出尺寸的情况可分为：

（1）已知线段。尺寸齐全，根据基准线位置和定形尺寸就能直接画出的线段。如图 1－25（a）中，圆弧R13、圆φ12以及线段48、线段10和线段L1都是已知线段。

（2）中间线段。尺寸不齐全，只知道一个定位尺寸，另一个定位尺寸必须借助于已知线段的连接条件确定的线段。如图1－25（a）中，圆弧R26和R8即为中间线段。

（3）连接线段。缺少定位尺寸，需要依靠与其两端相邻线段的连接条件才能确定的线段。如图1－25（a）中，圆弧R7和线段L2即为连接线段。

3）平面图形的绘图步骤

（1）准备工作

准备工作包括绘图工具和仪器的准备（如削好铅笔、固定图纸等）、选定图幅和比例、进行图样分析、了解绘图要求等。

（2）画底稿

①在图纸合适的位置画两个方向的基准线，如图1－25（b）。

②画已知线段，如图1－25（c）。

③画中间线段，如图1－25（d）。

④画连接线段，如图1－25（e）。

（3）加深描粗图线

对上述底稿进行检查、复核，确认无误后加深描粗图线，顺序同画底稿。另外，对于整体图样，应该按照自上而下、从左到右依次画出同一线型、同一线宽的各图线。当图形中有曲线时，应先画曲线后画直线，以便其连接处平整光滑。加深描粗后的成果应该是图面上的图线深度一致而线型和线宽有别，如图1－25（f）。

（4）注写文字及符号

一般在图形绘制好后才书写各种文字和符号，包括文字说明、尺寸数字等，如图1－25（f）。

图1－25　平面图形的画法

1.4　徒手作图的方法

1.4.1　直线的画法

画直线时，水平线应自左向右画出，笔杆放平些（如图1－26（a））；铅垂线自上而下画出，笔杆要立直些（如图1－26（b））。画斜线时从斜上方开始，向斜下方画出（如图1－26（c））；也可将纸转动，按水平线画出。直线绘制时的技巧是目测终点，小指压住纸面，手腕随线移动，一次完成。

图1－26　徒手画直线

1.4.2　角度的画法

徒手画角度时，可采用图1－27所示的画法：先画出相互垂直的两条直线，以其交点为圆心、以适当长度为半径，勾画出1/4圆周。如果要画45°角，可将该1/4圆周估分为两等份，如图1－27（c）；如将1/4圆周三等分，则每份为30°，可得到30°和60°角，如图1－27（d）。

图1－27　徒手画角度

1.4.3　圆的画法

画小圆时，一般只画出垂直相交的中心线，并在其上按半径定出4个点，然后勾画成圆，如图1－28（a）。画较大圆时，可加画2条45°斜线，并按半径在其上再定4个点，一共8个点连成一个圆，如图1－28（b）。画更大的圆时，可先画出圆的外切正方形，找到4个对角线的三分之二分点，连同正方形的中点，将8个点连接成圆，如图1－28（c）。

图1－28　徒手画圆

1.4.4　椭圆的画法

画椭圆的方法与画圆大致相同。画小椭圆时，一般只画出垂直相交的中心线，并在其上按长短轴定出4个点，然后勾画成椭圆，如图1－29（a）。画大椭圆时，可先根据长短轴画出椭圆的外切矩形，找到4个对角线的三分之二分点，连同矩形的中点，将8个点连接成椭圆，如图1－29（b）。

图1－29　徒手画椭圆

1.4.5　立体草图的画法

画立体草图时应注意以下3点：

（1）先定物体的长宽高方向，使高度方向竖直，长度方向和宽度方向各与水平线倾斜30°。

（2）物体上相互平行的直线，在立体草图上也应相互平行。

（3）画不平行于长宽高的斜线时，只能先定出它的两个端点，然后连线。

如图1－30（f）所示的模型，可以看成一个长方体被切去一个角。画草图时，可先确定长宽高的方向（图1－30（a）），估计其大小，定出底面矩形（图1－30（b））；由底面矩形4个角点沿竖向定出4条棱线的高度，再连接上底面，得出完整的长方体（图1－30（c））；然后根据切角大小，先在上底面沿两条底边定出斜线的两个端点后连接（图1－30（d）），再由两个端点沿竖向画线定出下底面斜线两个端点后连接（图1－30（e））；最后擦除多余的线条并加深图线即可。

图1－30　徒手画立体草图