尺规作图问题

有时候，比证明一个几何问题更有意思的，是怎样精确地把这个几何图形画出来。用尽可能简单的工具作出尽可能丰富的几何图形，无疑是一个非常吸引人的研究课题。事实上，从古希腊时代开始，人们就在研究几何作图，至今已经有 2000 多年的历史了。古希腊的数学家们敏锐地察觉到，直线和圆是最基本、最可信、亘古不变的几何概念，因而他们立下了一个规矩：几何作图只能使用直尺和圆规。这种选择很大程度上决定了今后平面几何研究的走向。平面几何理论的第一个框架是欧几里得的《几何原本》，其中有很多命题都是在讲如何作图的。《几何原本》的第一个命题就是一个作图问题，即如何作一个等边三角形。

以已知线段AB为边，作一个等边三角形（见图1）。

图1

以A为圆心，AB为半径作一条弧。显然，这条弧上的所有点到A的距离都等于AB的长。以B为圆心，AB为半径再做一条弧。显然，这条弧上的所有点到B的距离都等于AB的长。那么，这两条弧的交点C就满足AC=BC=AB，它就是等边三角形的第三个顶点。再用直尺把AC、BC连接起来，等边三角形就画好了。

关于尺规作图的概念，有两点值得大家注意。首先，直尺并不是普通的直尺——可能大家都知道——它是一条没有刻度的直尺。你不能用它测量已知线段的长度，更不能用刻度尺直接量出已知线段的中点在哪里。

另外，圆规也不是普通的圆规——这个估计就很少有人知道了——它是一个“松”了的圆规，只有作圆时才能固定张角，一旦离开纸面两脚便会“啪”的一声自动合拢。换句话说，在尺规作图问题中，圆规不能用来转移长度，只能作出以一点为圆心，以该点到另一点的距离为半径的圆。

不过，有没有这个限制关系并不大，因为《几何原本》的第二个命题就保证了，松圆规也能当作普通圆规用。

以已知点A为圆心，以已知线段BC的长度为半径作圆（见图2）。

图2

首先，利用前面的方法，作出等边三角形ABD。然后，以B为圆心，BC为半径作弧，交BD于E；再以D为圆心，DE为半径作弧，交AD于F。由于AD=BD，并且DF=DE，因此AF=BE；而BE又等于BC，因此AF就等于BC。现在，我们只需要以A为圆心，AF为半径作圆就可以了。

每次需要用圆规转移线段长度时，我们都可以用上面这一招。这样一来，圆规就有用多了。

让我们先来看看，尺规作图是如何完成一些最基本的几何构造的。

作已知角的角平分线（见图3）。

图3

以O为圆心，任意长度为半径作圆，与角的两边分别交于A、B两点。再以任意长度为半径，分别以 A、B两点为圆心作圆弧，两圆弧交于点 P。可以证明，△OBP和△OAP是全等的，因而OP就是这个角的角平分线。

作垂直平分线的方法则更加简单。

作已知线段AB的垂直平分线（见图4）。

图4

以适当长度为半径，分别以 A、B两点为圆心作圆，两圆交于 P、Q两点。由对称性，PQ的连线就是线段AB的垂直平分线。注意，在作圆时，半径不能取得太短，否则两圆有可能没有交点。因此，我们用“适当长度”一词代替了“任意长度”。当然，更简便的做法是，直接取AB为半径长。

注意，这条垂直平分线与线段 AB的交点，正是 AB的中点。因此，我们也就有了尺规作图找出已知线段中点的办法。利用垂直平分线的作法，我们还可以完成下面这个操作。

过已知点A作已知直线的垂线（见图5）。

图5

以A为圆心，以适当长度为半径作圆，与已知直线交于P、Q两点。然后，只需要套用刚才的方法，作出PQ的垂直平分线即可。在这里，取“适当长度”也是为了保证圆与直线有交点。

如果A恰好在直线上，上面的方法同样适用。

这又解决了下面这个问题：

过已知点A作已知直线的平行线（见图6）。

图6

我们可以利用上面的方法，先过A点作已知直线的垂线，再过A点作这条垂线的垂线。

这里还有一个更巧妙的方法：在已知直线上任取两点B、C，然后以A为圆心BC为半径作弧，再以C为圆心AB为半径作弧，把两条圆弧的交点记作D。由于AD=BC，AB=CD，因此四边形ABCD是平行四边形，所以AD就是BC的平行线。

下面是一个看上去更加困难的问题。

过已知点A作已知圆O的切线（见图7）。

图7

先作出OA的中点M。然后，以M为圆心，以OM为半径作圆弧，与圆O交于点P。AP就是圆O的切线。这是因为，AO是圆M的直径，因此∠APO=90°，这说明AP垂直于圆O的半径，也就说明了AP是圆O的切线。

当然，我们还有很多看上去更加困难的问题，其中最经典、最困难的作图问题可能要数阿波罗尼斯（Apollonius）问题了：作出一个圆，使得它与三个已知圆都相切（见图8）。

图8

这个问题是古希腊数学家阿波罗尼斯提出并解决的，只不过他的解决方法已经失传了。16世纪末，有数学家曾利用圆锥曲线的交点找到了阿波罗尼斯问题的解法，不过这并不算尺规作图的方法。1600年，法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）给出了一个真正的尺规作图方案，才让阿波罗尼斯问题终于有了一个令人满意的答案。据推测，弗朗索瓦·韦达给出的方法很可能就是当年阿波罗尼斯自己的方法。到现在，人们用代数、反演等不同的方法，已经找到了阿波罗尼斯问题的好几种更加漂亮的解法。看来，阿波罗尼斯问题也不是一个大问题了。

然而，一些看起来并不困难的几何构造，却怎么也没法用直尺和圆规做出来。古希腊人总结了三个真正的几何作图难题。

化圆为方：作出一个正方形，使得其面积和已知圆相等。

倍立方体：作出一个立方体，使得其体积是已知立方体的两倍。

三等分角：将任意一个已知角三等分。

注意，在平面几何中，我们显然是画不出立方体的。因此，在第二个问题中，我们已知的和要作的其实是立方体的棱长罢了。因此，第二个问题也就可以理解为，作出一条线段，使其长度是已知线段的倍。如果把已知线段看作单位长的线段的话，问题可以进一步简化为，作一条长为的线段。

1837年，法国数学家皮埃尔·旺策尔（Pierre Wantzel）证明了一个惊人的结论：倍立方体永远不可能用尺规作图完成，换句话说只用直尺和圆规永远也不能作出长为的线段来。为了解释尺规作图为什么无法作出，我们先来看看尺规作图能够作出些什么。

首先，很容易想到，给定一条单位长的线段后，我们就能作出长度为任意正整数的线段来。

将已知线段AB延长到原来的2倍、3倍、4倍……（见图9）。

图9

先用直尺延长AB，然后以B为圆心AB为半径画弧，与直线交于点C；再以C为圆心AB为半径画弧，与直线交于点D……如此重复下去，我们便能得到长度为任意正整数的线段。

我们能把任意线段延长到原来的n倍，那有办法把它缩小到原来的1/n吗？有！

将已知线段AB进行n等分（见图10）。

图10

以A为端点，向任意方向作任意长度的线段AC₁。然后，利用上面的方法，将AC₁延长到2倍、3倍、4倍……依次得到C₂，C₃，…，C_n。然后，把C_n与B相连，过C₁，C₂，…，C_n-1分别作C_nB的平行线，与AB分别交于D₁，D₂，…，D_n-1。显然，这些点就是线段AB的n等分点（图10演示的是n＝5的情形）。

这样一来，把单位线段先扩大到原来的n倍，再缩小到 1/m，就能得到长为 n/m的线段，从而便可以作出长度为任意有理数的线段了。

不但如此，我们还可以利用直尺和圆规，完成数与数之间的运算。下面就是把两个线段的长度加在一块儿的方法。

已知线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，作一条长度为a﹢b的线段（见图11）。

图11

延长AB，然后以B为圆心CD为半径作圆，与AB的延长线交于点E（更常见的说法则是，在AB的延长线上截取BE=CD）。AE的长度就是a﹢b。

类似地，我们也能用尺规作图实现两数相减（见图12）。

已知线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，作一条长度为a-b的线段（假设a＞b）。

图12

类似地，直接在线段AB内截取BE=CD，则AE就等于a-b。

下一个问题就比较有挑战性了：尺规作图能实现两数相乘吗？答案仍然是肯定的。不过，我们需要假设已经事先给定了一条单位长的线段。否则，我们无法确定出已知线段所表示的长度值，它们的乘积也就没有意义了。

已知线段 AB的长度为a，线段 CD的长度为b，作一条长度为a·b的线段（见图13）。

图13

以A为端点，向任意方向作射线。用圆规在这条射线上截取AE=CD，截取AF=1。过E作FB的平行线，与AB的延长线交于点G。如果把AG的长度记作x，注意到图中大小两个三角形相似，则有a：x＝1：b，于是x＝a·b。

图13所示的是b≥1的情况。当b＜1时，这种方法仍然适用。

同理，我们也可以用尺规作图做除法。

已知线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，作一条长度为a/b的线段（见图14）。

图14

以A为端点，向任意方向作射线。用圆规在这条射线上截取AE=CD，截取AF=1。过F作EB的平行线，与AB交于点G。如果把AG的长度记作x，注意到图中大小两个三角形相似，则有x：a ＝1：b，于是x＝a/b。

同样地，图14所示的是b≥1的情况，事实上这种方法对b＜1的情况也是成立的。

现在，加减乘除四则运算都能用尺规作图完成了。那么，尺规作图能开平方吗？没有问题！

已知线段AB的长度为a，作一条长度为的线段（见图15）。

图15

在AB的延长线上截取BC=1。找出AC的中点O。以O为圆心，OA为半径作圆。过B作AC的垂线，与圆交于点D。由于直径所对的圆周角是90°，所以∠ADC=90°；再加上BD垂直于AC，容易看出△ABD与△DBC相似。如果把BD的长度记作x，则a：x ＝ x：1，也就是x＝。

到此为止，我们已经可以作出所有的有理数，可以对它们进行加减乘除和开平方运算，当然还可以对所得结果继续加减乘除，继续开平方。我们通常把从全体有理数出发，通过有限次加减乘除和开方运算可以得到的数都叫做“可构造数”（constructible number），意即它们可以用尺规作图构造出来。……这些数都是可构造数。

然而，尺规作图的极限也就到这里了。只用直尺和圆规，我们再也无法作出除了可构造数以外的其他数了。这是因为，在平面直角坐标系中，经过（a₁，b₁）和（a₂，b₂）两点的直线的方程是（b₁-b₂）x﹢（a₂-a₁）y﹢（a₁b₂-a₂b₁）＝0，以（a₁，b₁）为圆心且经过点（a，b）的圆的方程则是，这些方程的系数都是对已有点的坐标进行加减乘除运算得来的；而两个直线方程的公共解、两个圆的方程的公共解、一个直线方程和一个圆的方程的公共解，都能通过消元化简为一元一次方程或者一元二次方程，它们的解都可以用方程各系数之间的加减乘除和开方运算表示出来。一开始，我们只有一条单位长的线段，或者说只有（0，0）和（1，0）两个点。在此之后，不管怎么作图，产生的新交点的坐标始终都是已有点坐标通过四则运算和开方运算得到的，永远跳不出可构造数的圈子。既然每个点的坐标都是可构造数，而（a₁，b₁）、（a₂，b₂）两点间的距离公式是，可见所有的距离值也都在可构造数的范围内。

尺规作图中偶尔会有“取任意点”、“取任意长度”的步骤（我们之前已经见过这样的例子了），此时我们也可以假定这些“任意点”的坐标以及“任意线段”的长度都是有理数。如果点或者长度真的是任意取的，这个假设也不会对作图过程带来任何影响。因而，在尺规作图中引入“任意”元素也不会让上面的证明失效。

但是，不能表示成可构造数，这就证明了倍立方体是无法用尺规作图完成的。

皮埃尔·旺策尔所做的不仅仅是证明了倍立方体的不可能性，他还从尺规作图中最基本的元素出发，探索了一切可以用尺规作图构造的图形，建立了可构造数的理论，一举解决了数个尺规作图不可能性问题，倍立方体只是其中之一。

借助可构造数理论，三等分角的不可能性也很快得证。如图 16 所示，三等分已知角，本质上相当于已知cosθ，求作cos。利用三角函数我们可以推出，，因而三等分角相当于解这么一个三次方程，一般情况下是不能用尺规作图完成的。

图16

化圆为方本质上则相当于作出长为的线段。1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明了π是一个超越数（即它不是任何一个整系数多项式方程的解），给化圆为方也判了死刑。至此，古希腊三大几何作图难题的不可能性都被证明了。

不知道大家是否想过，如果当初古希腊人并没提出尺规作图，而是选用了别的作图工具，今天的几何学又会怎样呢？哪些原本简单的几何构造变得异常难以完成，哪些原本作不出的图形却可以轻而易举地画出来？换一块基石，重新搭建几何作图的大厦，无疑是一件激动人心的事情。