2.4.4 直线与平面、平面与平面的相对位置
直线与平面、平面与平面的相对位置关系有平行和相交两种情况。垂直相交是相交中的特殊情况，本书只讨论特殊位置情况垂直相交的图解方法。
1.平行的相互位置关系
1）直线与平面平行
判定定理：若一直线平行于属于平面的一条直线，则直线与该平面平行；反之，若直线平行于平面，则通过属于该平面内的任一点必能找到属于平面的一条直线与已知直线平行。
例2.6 如图2.22（a）所示，试判断直线MN是否平行于平面△ABC。
解 运用判定定理，假设直线MN//平面△ABC，则必能在平面上找到一条直线平行于直线MN。
步骤：如图2.22（b）所示，在平面△ABC内，作直线BD，使b′d′//m′n′，求出BD的水平投影bd，因为bd不平行于mn，所以直线MN不平行于平面△ABC。
图2.22 判断直线是否平行于平面
2）平面与平面平行
判定定理：若一个平面内的两相交直线对应平行于另一个平面内的相交两直线，则这两个平面平行，如图2.23所示。
图2.23 两平面平行
例2.7 如图2.24（a）所示，过定点K作平面平行于由平行线AB和CD确定的平面。
解 如图2.24（b）所示，运用判定定理，过定点K作一对相交直线平行于由平行线AB和CD确定的平面，由于直线AB和CD是平行线，不是相交直线，因此先作直线MN与两平行直线相交，再过定点K作一对直线GH和EF分别平行于直线MN和AB。
图2.24 过点K作平面平行于已知平面
2.相交的相互位置关系
1）直线与平面相交
直线与平面相交有且只有一个交点，即直线与平面的共有点。求交点除了要求出交点的投影，还要判别直线的可见性。
这里只介绍两种特殊位置相交情况：
一是一般位置直线与特殊位置平面相交；
二是特殊位置直线与一般位置平面相交。
例2.8 如图2.25（a）所示，求一般位置直线MN与铅垂面△ABC的交点。
图2.25 一般位置直线与特殊位置平面相交
解 作图步骤如下。
（1）求交点的投影。如图2.25（b）所示，铅垂面△ABC的水平投影积聚成一直线，所以直线MN和平面的交点K的水平投影就是水平面的交点k，求出k′。
（2）判别可见性。交点是可见与不可见的分界点，利用有积聚性的投影来判断其他投影图的可见性。从水平投影看出KN在平面△ABC的前面，因此直线的正面投影k′n′可见，可见部分画成实线，不可见部分画虚线，分界点是交点K。
例2.9 如图2.26（a）所示，求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点。
解 作图步骤如下。
（1）求交点的投影。如图2.26（b）所示，铅垂线EF的水平投影积聚成一点e（f），即为直线EF和平面的交点K的水平投影k，是重影点，过点作属于平面的辅助线及其正面投影，求出k′。
（2）判别可见性。利用有积聚性的投影来判断其他投影图的可见性。从水平投影看出平面△ABC的边ac在KF的前面，因此直线的正面投影k′f′不可见，可见部分画成实线，不可见部分画虚线，分界点是交点K。
图2.26 特殊位置直线与一般位置平面相交
2）平面与平面相交
平面与平面相交为一直线，即两个相交平面的共有线，交线上的点是两平面的共有点，只要确定两个共有点，就可以作出两平面的交线。同样也要判别平面的可见性。
这里只介绍特殊位置相交情况：一般位置平面与特殊位置平面相交，两个特殊位置平面相交的情况读者参考前者可以自行作图求得交线并判别其可见性。
例2.10 如图2.27（a）所示，求铅垂面△DEF与一般位置平面△ABC的交线。
解 作图步骤如下。
（1）求两平面交线的共有点的投影。如图2.27（b）所示，铅垂面△DEF的水平投影积聚成一直线ef，其为两平面交线的水平投影kl所在的直线，由属于平面上的点的投影可以求出交线的正面投影k′l′。
（2）判别可见性。利用有积聚性的投影来判断其他投影图的可见性。从水平投影看出平面△ABC的边ab在交线KL的前面，因此平面ABLK部分的正面投影可见，可见部分画成实线，不可见部分画虚线，分界线是交线KL（见图2.27（c））。
图2.27 特殊位置平面与一般位置平面相交
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