在解析几何中经常要求曲线的投影曲线方程

在解析几何中，经常要求曲线的投影曲线方程，在许多书中，空间曲线在平面上的投影曲线方程大多是用一般方程表示的，为使应用方便，因此，应会求投影曲线的参数方程，为了得到投影曲线参数方程的求法，先给出柱面参数方程的求法，于是得到如下定理.

定理4.2.1 设空间曲线Γ的参数方程为

则以Γ为准线，母线平行于方向s＝l，m，｛｝n的柱面参数方程为

其中t，k为参数.

证 设点（x0，y0，z0）对应于t＝t0，即（φ（t0），ψ（t0），ω（t0））是曲线Γ上的一点，则过该点平行于s＝｛l，m，n｝的直线参数方程为

如果将方程中的t0变成t，随t的变化，方程

就表示平行于s＝｛l，m，n｝且与曲线Γ相交的一族平行线，由柱面定义知，方程

就是以Γ为准线，母线平行于方向s＝｛l，m，n｝的柱面参数方程，其中t，k为参数.

显然，空间曲线关于坐标面xOy，yOz，zOx平面的投影柱面参数方程分别为

定理4.2.2 设空间曲线Γ的参数方程为

则Γ在平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0上的投影曲线的参数方程为

其中

证 由定理4.2.1知，准线为母线平行于s＝｛A，B，C｝的柱面参数方程为

其中t，k为参数.则该柱面的母线与平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0的法向量｛A，B，C｝平行，即母线垂直于平面π，是Γ关于平面π的投影柱面，因此，柱面与平面π的交线就是曲线Γ在平面π上的投影曲线.因投影曲线在π上，故应有

代入方程

即为空间曲线Γ在平面π上的投影曲线的参数方程.

显然，坐标面xOy，yOz，zOx平面的法向量分别为｛0，0，1｝，｛1，0，0｝，｛0，1，0｝，空间曲线对应的Φ（t）分别为Φ（t）＝ω（t），Φ（t）＝φ（t），Φ（t）＝ψ（t），故此，空间曲线Γ在三坐标面上的投影曲线参数方程分别为

即