在几何画板中作圆锥曲线切线的几种方法

在几何画板中作圆锥曲线切线的几种方法

江　俊

一、在椭圆上一点作切线的几种常用方法

1．在高中数学教科书(北师大版)选修2－1椭圆中有一道例题如下:

求证:点M(a cosθ，b sinθ)(0≤θ＜2π)在椭圆上。

此题实际上揭示了椭圆的一种生成方法:作两个半径不等的同心圆，在大圆上任意取一点作P，过P作x轴的垂线l，连接OP与小圆交于点A，过A作l的垂线交点为C，则C的轨迹为椭圆(图一)。

由此可知椭圆的一种切线作法如下:

①以椭圆的中心O为圆心，长半轴为半径作圆;

②在椭圆上任意取一点A，并过A点作x轴的垂线交大圆于点B;

③连接OB，并过B点作OB的垂线交x轴于点C，连接AC即为过A点的切线(图二)。

图1

图2

2．在文［3］中作者给出了椭圆上一点切线的做法如下:

①过P作x轴的垂线交x轴于点N，以O为圆心长半轴a为半径作圆，与直线OP交于点R;

②过A(a，0)点作NR的平行线，交直线OP交于点S，

③以O为圆心，线段OS为半径作圆交x轴于点Q，则PQ为过P点的切线(图三)。

在椭圆上一点作切线的方法还有很多，以上两种是比较简单的两种作法。

二、利用参数方程作圆锥曲线及切线

1．用参数方程作椭圆及切线

作法如下:

①新建参数a= 2，b= 1，和函数f(x)= a cos x，g(x)= b sin x;

图3

②绘制参数函数，即画出方程为对应的椭圆;

③在椭圆上任意取一点B并分别度量它的横、纵坐标x_B和y_B，并计算

④绘制函数y= k(x－x_B)+ y_B的图像，即为椭圆在点B处的切线。

注:参数a，b的大小可以自由控制，以下参数a，b都是如此。

2．用参数方程作双曲线及切线

作法如下:

①新建参数a= 2，b= 1，和函数f(x)= a cos x，g(x)= b sin x，g(x)= b sin x

②绘制参数函数，即画出方程为对应的双曲线;

③在双曲线上任意取一点C并分别度量它的横、纵坐标x_C和y_C，并计算

④绘制函数y= k(x－x_C)+ y_C的图像，即为双曲线在点C处的切线。

注:类似可作焦点在y轴上的双曲线的切线。

3．用参数方程作开口向上的抛物线及切线

作法如下:

①新建参数p=2，和函数，并绘制函数f(x);

②在双曲线上任意取一点D，分别度量它的横、纵坐标x_D和y_D，并计算;

③绘制函数y= k(x－x_D)+ y_D的图像，即为抛物线在点D处的切线。

4．用参数方程作开口向右的抛物线的切线

作法如下:

①新建参数p=2，和函数

②绘制参数函数

③在抛物线上任意取一点P，分别度量它的横、纵坐标x_P，y_P并计算

④绘制函数y= k(x－x_P)+ y_P，即为抛物线在点P处的切线。

注:类似可以作开口向下、向左抛物线的切线方程。

利用参数方程和隐函数求导在几何画板中能比较方便画出圆锥曲线的切线，易于初学者掌握。

参考文献:

1．赵国藩．用“几何画板”作圆锥曲线的切线．数学学习与研究，2009(9)

2．尉贞肆．关于椭圆及其切线的画法．陕西教育学院学报，1999(2)

3．刘自敏．椭圆切线的几何作法．科技信息

4．席高文．圆锥曲线切线几何作图的充要条件．洛阳师范学院学报，2002(5)