曲线的投影

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【摘要】：但为了准确绘制曲线的投影，应先画出控制曲线形状的转向点、反曲点、切点及端点等特殊点，再画出若干一般点，最后依次光滑连接。如图9－5所示，欲绘制曲线L的H投影，在其上取特殊点A、B、Ⅰ、Ⅳ及一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ，作出它们在H面上的投影，并依次光滑连接，即得曲线的H投影l。长短轴端点均为特殊点，为准确画出V投影椭圆，需利用换面法求出一般点。

9.1　曲线的投影

9.1.1　曲线的形成

曲线的形成有如下三种方式：

（1）一个动点连续运动的轨迹，如图9－4（a）所示；

图9－4　曲线的形成

（2）两曲面相交或曲面与平面相交所获得的交线，如图9－4（b）中的曲线为平面与圆锥面相交所成；

（3）直线运动时所得线簇的包络线，如图9－4（c）所示。

曲线可用一个字母或其上若干点的字母来标注，如图9－5中的曲线可用一个字母L或用字母A、Ⅰ、Ⅱ等标注。

9.1.2　曲线的分类

曲线有多种分类方式，其分类标准不同，分类方式也不一样。

1.根据曲线形状是否规则分类

（1）规则曲线：曲线的形状有规则，能用数学表达式精确描述，如圆、椭圆、抛物线、双曲线、正弦曲线、余弦曲线、圆柱螺旋线等。

（2）不规则曲线：曲线的形状没有规则，具有很大的随意性，无法用数学表达式精确描述，如等高线、海岸线等。

2.根据曲线上各点是否共面分类

（1）平面曲线：曲线上所有点均属于同一个平面，如圆、椭圆、等高线等。

（2）空间曲线：曲线上任意连续四点不从属于同一个平面，如圆柱螺旋线、相贯曲线等。

9.1.3　曲线的投影

由于曲线是点的集合，因此只要画出曲线上一系列点的投影，并将各点的同面投影依次光滑连接，就可得到曲线的投影。但为了准确绘制曲线的投影，应先画出控制曲线形状的转向点、反曲点、切点及端点等特殊点，再画出若干一般点，最后依次光滑连接。如图9－5所示，欲绘制曲线L的H投影，在其上取特殊点A、B、Ⅰ、Ⅳ及一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ，作出它们在H面上的投影，并依次光滑连接，即得曲线的H投影l。

图9－5　曲线的投影

依据曲线的投影，可知其投影特性如下：

（1）曲线的投影一般仍为曲线，如图9－5所示，曲线L向H面进行投射时，形成一个投射柱面，该柱面与H面的交线也为一曲线；

（2）曲线上的点，其投影必在该曲线的同面投影上，如图9－5所示，点A属于曲线L，其投影a必属于曲线的投影l；

（3）当平面曲线所在的平面垂直于某投影面时，曲线在该投影面上的投影积聚为一直线段，如图9－6（a）所示；

（4）当平面曲线所在的平面平行于某投影面时，曲线在该投影面上的投影反映实形，如图9－6（b）所示；

（5）若直线与曲线相切，则其同面投影仍然相切，切点是原切点的投影，如图9－6（c）所示；

图9－6　曲线的投影特性

（6）二次曲线的投影一般仍为二次曲线，如圆、椭圆的投影一般仍为椭圆。

9.1.4　圆的投影

1.圆的投影特征

圆是工程中最为常用的平面曲线，根据圆所在平面与投影面相对位置的不同，其投影可分为如下三种情况：

（1）当圆所在平面与投影面垂直时，在该投影面上的投影为一直线段，长度等于圆的直径，如图9－7（a）中的H投影；

（2）当圆所在平面与投影面平行时，在该投影面上的投影反映实形，为一同样直径的圆，如图9－7（a）中的V₁投影；

（3）当圆所在平面与投影面倾斜时，在该投影面上的投影为一椭圆，如图9－7（a）中的V投影。

2.投影面垂直圆的投影

如图9－7所示，已知圆O所在平面P⊥H面，面P对V面的倾角为β，圆心为O，直径为D。

（1）圆的直径CD⊥H面，H投影积聚为一点c（d）；直径AB⊥CD，因而AB∥H面，H投影反映实长，即ab＝AB＝D，与OX轴的倾角为β；因此该圆H投影为长度等于直径D的线段。

（2）因为CD∥V面，V投影c′d′反映直径实长，即c′d′＝CD＝D，是椭圆最长的一根直径——椭圆长轴；AB倾斜于V面，其V投影a′b′＝Dcosβ，a′b′是椭圆最短的一根直径（直径AB为对V面的最大斜度线，与V面所成的角度最大，因而a′b′＝Dcosβ最短），且a′b′⊥c′d′，为椭圆的短轴。因此该圆V投影为一椭圆，其长轴等于直径，短轴等于水平直径在V面上的投影长。

【例9－1】　已知位于铅垂面P内的圆的圆心O（o，o′），直径为D，如图9－7（b）所示，试作出该圆的两面投影。

解　（1）分析：该圆所在平面垂直于H面，倾斜于V面，因而其H投影为长度等于直径D的直线段；V投影为椭圆，长轴等于直径D，短轴垂直于长轴，长度根据水平投影确定。长短轴端点均为特殊点，为准确画出V投影椭圆，需利用换面法求出一般点。