滤饼孔隙的分形模型

5．3．3　滤饼孔隙的分形模型

从滤饼结构的扫描电镜照片上可以看到，絮团是由随机颗粒堆积组成的。当扫描电镜照片部分放大后，可以看到具有极不规则的微细粒煤在煤粒表面上的扩展和集聚，这种现象类似于大多数砂岩随机矿物扩展。

目前，已有许多分形模型被用来模拟这种随机矿物扩展，进而分析滤饼的孔隙。图5．19给出一个经典的分形———传统Koch岛^{［191，192］}，其构造规则是：选边长为L的等边三角形为源多边形或初始元，如图5．19（a）所示；对它作一种自相似变换，在其每一边的正中间1／3处再造一个边长为L／3的外凸正三角形，这样原来的三角形变为六角形，如图5．19（b）所示；对六角形的12条边继续进行同样的变换，就会得到18角形，如图5．19（c）所示；重复上述操作，直至无穷次变换，最后得到的极限图形是无穷短的边连接成的闭合曲线，如图5．19（d）所示。这就是传统的Koch岛。该曲线处处连续，但处处不可微。若对最初的正三角形作一个外接圆，可以看到Koch曲线不会超过这个外接圆，说明其面积有限，然而每次变换都会使闭合曲线周长增加。

图5．19　Koch岛的构造过程与分形孔隙表面

可见，Koch曲线的周长无穷大。一条无穷长的曲线位于有限的平面上，因此它的维数既不是1维，也不是2维，而是介于1～2之间的分维数。在第n步，岛的周长是由N个长度为r＝L／3ⁿ的线段组成，这时线段数目（或边数）为：

N＝A（L／r）^D　　　　　　　　（5．47）

式中：A＝3，D＝ln4／ln3———是分形维数。

这个分形模型可用来模拟滤饼的孔隙。因为小絮团能不断地扩展和沉积在一个较大的已有的絮团颗粒上，当用尺度r去观察时，使得尺寸为L的孔隙，表面特征（即折线数）能由式（5．47）来定义，并且该孔隙的表面面积为^［189］：

S＝Br²（L／r）^D＝BL2（L／r）^D－2（5．48）

这是滤饼孔隙的数学分形模型，实际滤饼的孔隙具有随机的表面分形特征。