圆柱投影和椭圆柱投影

3.5.3　平面与曲面立体相交

平面与曲面立体相交，即曲面立体被平面所截切，其截交线为封闭的平面曲线，或由曲线与直线围成的平面图形或平面多边形，其几何形状取决于曲面立体的形状和截平面与曲面立体的相对位置。

求曲面立体上的截交线就是求截平面与立体上各被截素线的交点，可归结为求线面交点的问题。当截平面或被截圆柱面轴线处于垂直于投影面的特殊位置时，可利用投影的积聚性求出截交线的投影，而在一般的情况下则需要通过作辅助平面才能求出截交线的投影。

1．平面与圆柱相交

平面与圆柱相交，即圆柱面被平面所截，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线形状有三种（见表3-2）。当截平面与圆柱轴线垂直时，截交线为圆；当截平面与圆柱轴线平行时，截交线为一矩形；当截平面与圆柱轴线倾斜时，截交线为一椭圆，椭圆短轴的长度等于圆柱直径，长轴的长度取决于截平面与圆柱轴线夹角的大小。

表3-2　圆柱面的截交线

如图3-23所示为正垂面截圆柱的投影。由图可知，截平面P倾斜于圆柱轴线且与圆柱面的所有素线都相交，截交线为完整的椭圆。又由于圆柱的轴线为铅垂线，截平面P为正垂面，因此截交线的正面投影积聚在线段a′b′上，水平投影积聚在圆周上，故只需求出交线的侧面投影。

具体作图步骤为：

（1）画出完整圆柱的左视图后，求截交线上的特殊点。特殊点主要是转向轮廓线与截平面的交点、极限点（最高、最低、最前、最后、最左、最右点）和椭圆长、短轴的端点等。在图3-23中，截交线上的点A、B、C、D分别是极限点，也是转向轮廓线上的点，也是椭圆长、短轴的端点。根据它们的正面投影和水平投影按投影关系可直接求出侧面投影。

图3-23　圆柱的截交线

（2）求截交线上的一般点。为使作图准确，还要作出若干一般点的投影。为作图简便，一般选取椭圆上四个对称点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅲ。同上，由1′、 2′、（3′）、（4′）和1、2、3、4可求出1″、2″、3″、4″。

（3）依次光滑连接各点的投影，并判别可见性。在本例中截交线的侧面投影全都可见。

（4）整理轮廓，完成作图。侧面投影轮廓线应画到c″、d″为止。

2．平面与圆锥相交

平面与圆锥相交，即圆锥面被平面所截切，根据截平面与圆锥的相对位置不同，其截交线形状有五种情况（见表3-3）。

表3-3　圆锥面的截交线

图3-24为正垂面截圆锥的投影。由图可知，截平面P与圆锥轴线倾斜，且与圆锥面的所有素线都相交，截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚在Pv上为已知，故只要求作截交线的水平投影和侧面投影，具体作图步骤如下：

（1）求截交线上的特殊点。这些特殊点分别为椭圆的长、短轴端点A、B、C、D，以及转向轮廓线与截平面的交点Ⅰ、Ⅱ。其中A、B为椭圆长轴的两端点，其正面投影a′b′反映长轴的实长；C、D为椭圆短轴的两端点，C、D的正面投影c′（d′）积聚在长轴正面投影a′b′的中点处。A、B、Ⅰ、Ⅱ四点的水平投影a、b、1、2和侧面投影a″、b″、1″、2″，可由它们的正面投影按投影关系直接求出。C、D两点的投影c、d和c″、d″需用辅助纬圆法求得。

（2）求截交线上的一般点。在截交线有积聚性的正面投影上选取一般点Ⅲ、Ⅲ，用辅助纬圆法求出3、4和3″、4″。

（3）依次光滑连接各点的投影，并判别可见性。图中所求截交线的水平投影和侧面投影均为可见。

（4）整理轮廓线，侧面投影的轮廓线应画到c″、d ″为止。

图3-24　正垂面截圆锥的截交

3．平面与圆球相交

平面与圆球相交，即用平面截切圆球面，不论截平面处于任何位置，截交线都是圆。但根据截平面对投影面的相对位置不同，截交线的投影可以是直线段、圆或椭圆。当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影反映实形，是圆；当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚成一条直线段，线段长为截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影为椭圆。

图3-25为球面被铅垂面P所截切，截平面P与球面的交线在H面上的投影积聚在P_H上。因为截平面倾斜于正立投影面和侧立投影面，所以截交线的正面投影和侧面投影均为椭圆，可分别求出它们的长、短轴后作出。

图3-25　球面截交线的求法

作图步骤：

（1）求截交线上的特殊点。这些特殊点分别为椭圆的长、短轴端点A、B、C、D，以及转向轮廓线与截平面的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅲ。

在水平投影上直接标出以上各点的投影a、b、c、d、1、2、3、4，其中c、d在线段ab的中点处，C、D两点的投影c′、d′和c″、d ″可用辅助纬圆法求得。其他各点的投影可由它们的水平投影按投影关系直接求出。

（2）求截交线上的一般点。在截交线有积聚性的水平投影上选取一般点Ⅴ、Ⅵ，用辅助纬圆法分别求出它们的其余两投影。

（3）依次光滑连接各点的投影，并判别可见性。图中所求截交线的投影均为可见。

（4）整理轮廓线，正面投影的轮廓应画到1′、2′为止，侧面投影的轮廓应画到3″、4″为止。

4．综合举例

实际机件常由几个回转体组合而成，当被平面截切时，截交线一般是由若干段几何性质不同的直线或曲线围成的平面图形，每一段截交线的几何形状由所属基本体的性质及其与截平面的相对位置而定。因此，为了正确地画出组合体表面的截交线，首先必须进行形体分析，找出各基本体之间的分界线，然后分别求出这些基本体的截交线，并依次将其连接即可。

如图3-26所示，磨床顶针是由同轴的圆锥、小圆柱和大圆柱组成的，且轴线垂直于侧面。水平截平面Q截圆锥的交线为双曲线，截圆柱面的交线为直线；正垂截平面P与大圆柱的轴线斜交，其交线为部分椭圆。平面P、Q的正面投影及平面Q的侧面投影均为有积聚性的直线段，圆柱面的侧面投影有积聚性，故截交线的正面投影和侧面投影为已知，只需求作交线的水平投影。

（1）在正面投影和侧面投影中分别标出点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的投影，再利用投影关系求出它们的水平投影。

（2）区分可见性，依次光滑连接各点，完成作图。

图3-26　磨床顶针的截交线