基于坡度变化的滤波算法

5.3.4　基于坡度变化的滤波算法

基于坡度变化的滤波算法(Vosselman，2000;Mass，1999)同数学形态学方法中的腐蚀运算非常相似。根据地形坡度变化确定最优滤波函数，为了保留倾斜地形信息，要适当调整滤波窗口尺寸的大小，并增加筛选阈值的取值，以保证属于地面点的激光点不被过滤掉。当然，这些滤波参数的最优取值应随着地形的变化而变化。

其基本思想是:邻近两个激光脚点的高程差异很大时，由地形急剧变化产生的可能性很小，更为可能的是其中一点属于地物点。也就是说，相邻两点的高差值超过给定阈值时，两点间距离越小，高程值大的激光脚点属于地面点的可能性就越小。造成相邻两点间高程变化明显的原因可能是两激光脚点分别位于地形表面和植被，或地形表面和其他地物，或是树的不同部位，或陡坎的不同部位。该方法是通过比较两点间的高差值的大小来判断拒绝还是接收所选择的点，两点间高差的阈值定义为两点间距离的函数Δh_max(d)，即所谓的滤波核函数，通常该函数是非递减函数。确定该函数的方法主要有以下两种。

(1)合成函数

假定地形坡度不超过30%，且观测值没有误差，滤波函数被定义为Δh_max(d)=0.3d。通常观测值是有误差的，所以再增加一个置信区间，并假定允许5%的具有标准偏差σ的点被拒绝，滤波函数就成为:

(2)保留重要地形特征

在绝大多数情况下，很难用一些参数来指定具体的滤波函数，而需要根据具体的地形训练数据子集推求同地形变化特性相符的滤波核函数。训练数据子集应典型反映局部区域的重要的地形特征，且滤波操作应保留这些地形特征，同时又能将非地面点全部过滤掉，这就要求选择一个合适的区域作为训练数据子集，用这些数据点推求经验的最大高差阈值滤波核函数Δh_max(d)。

显然，确定最大的高差阈值是随机的，在利用这些阈值去过滤其他区域的激光点时，必须给该高差阈值增加置信区间。假设训练采样子集包含有距离为d的N对点。这N对点间的最大高差可以看成是整个数据集的最大高差。但整个数据集两点间高差的概率分布并不知道，为了得到有关最大高差阈值的标准偏差信息，可选择训练数据集两点间的高差分布作为整个数据集的概率分布。

假设F(Δh)为训练数据集中两点间距为d的高差的累积概率分布，那么F_max(Δh)=F(Δh)^N为N对相互独立的距离为d的两点间最大高差的累积概率分布，对应的最大高差的概率密度函数为:

对概率密度函数进行积分，可获得最大高差的方差。对于每个间距为d的方差，应独立计算，置信区间的大小可由方差的大小决定，然后将这个置信区间加到最大高差阈值的表达式中。

以上两种确定核函数的方法都是尽量使DEM保留重要的地形特征信息。这可能造成过滤条件太宽松，而在保留绝大部分地面点的同时接收了一些不属于地面的激光脚点，即减小了第I类误差(拒绝了本属于地形表面的激光脚点)的数量，加大了第II类误差(接收了不属于地形表面的激光脚点)的数量。对于同一点，由第I类分类误差和第II类分类误差而产生的DEM的高程误差的绝对值的大小是一样的，既然由两类误差造成的高程误差是一样的，那么如果P(p_i∈DEM)＞P(p_i∈DEM)(P表示概率)，最好将p_i分类为地面点。分类结果的好坏同数据点的密度有着密切的关系，点的密度越稀疏，分类误差就越大，滤波效果就越差。该方法对于矮小的地面植被激光脚点很难被过滤掉。

提高分类精度的另一个方法就是引进图像分析算法。如果地形的形态特征随着区域的不同而变化，可粗略地进行分割，每块的地形变化具有一定的均一性，对于每种地形的数据，应选择不同的数据训练集来推求最优的滤波函数。

假设A为原始数据集，DEM为地面点集，那么满足下列滤波函数:

DEM={p_i∈A|Ap_j∈A∶h_pi－h_pj≤Δh_max(d(p_i，p_j))}　　　　　　　(5.4)

的点就是DEM的元素。换句话说，如果对于给定的点p_i，找不到点p_j使得它们满足关系式{h_pi－h_pj＞h_max(d(p_i，p_j))}，那么点p_i就可划分为地面点。该方法同数学形态腐蚀运算的关系如下。

用核K(Δx，Δy)对二维信号h(x，y)的腐蚀运算可定义为:

e(x，y)=min

Δxmin

Δy［h(x+Δx，y+Δy)－K(Δx，Δy)］　　　　　　　　(5.5)

对应于离散点集A中的p_i:

如果定义核函数为:

p_i腐蚀后的值为:

如果h_pi＜e_pi，那么，

Ap_j∈A:h_pi≤h_pj+Δh_max(d(p_i，p_j))

所以地面点集定义为:

DEM={p_i∈A|h_pi≤e_pi}(5.9)

总之，当某脚点的高程不超过腐蚀面的高度时，就被认为是地面激光脚点。反过来，也可以通过检查某脚点的高程是否会导致拒绝它周围的脚点来进行过滤。

根据前面的定义，所选脚点必须同其他所有脚点进行比较，以确定是否接收该脚点。在绝大多数情况下没有必要这样做。如知道由于地形起伏引起的高差不超过10m，并且Δh_max(100m)=10m，那么，只需考虑100m范围以内的点。

实际上，不能仅仅根据两点间间距的大小来确定滤波函数阈值的数值，如在一斜坡上有等间距的三点，其中有两点(A，B)位于斜坡的同一等高线位置，另一点(C)位于沿坡度变化方向的某一位置，尽管|AB|=|BC|=|AC|，但是AB两点间的高差为零，BC、AC两点间的高差却可能较大。