考虑滞流效应的承压含水层水压力传递模型研究

考虑滞流效应的承压含水层水压力传递模型研究

卢玉东^[1]

（长安大学环境科学与工程学院，陕西　西安　710054）

【摘　要】针对承压含水层抽水试验中水压力传递滞流效应，应用连续介质力学理论，推导了包括惯性项的运动方程。含有加速度项的地下水运动方程，是一衰减的波动方程，它包含有Kρ/μn这一时间单位项。水压力传递速度C主要是贮水率S_s的函数，水和骨架介质的压缩性越大，水压力传递的速度便越小。实际承压含水层井水位的变化与观测井的响应有一滞后时间。这一滞后时间与含水介质的性质及两个点的间距有关。

【关键词】承压含水层，滞流效应，水压力传递，波动方程

Modeling head lag effect of

groundwater in confined aquifer

Lu yudong

（College of environmental sciences and engineering，Chang’an University，Xi’an 710054，China）

【Abstract】There are stagnant flow in confined aquifer during pumping test.In this paper，inertial equation is derived by applying contiguous media dynamics theory.Ground water transport equation，which contain acceleration term，is a attenuation wave equation，and include time parameter representing byΚρ/μn.The spread velocity of water head is function of catchment rate，and water and solid media is more compressive，the spread velocity is more little.In fact，there is a lag time between the　water level change of well in confined aquifer and its observation well.That lag time is depended on character of aquifer and observation distance.

【Key words】Confined aquifer；Stagnant flow；water head spread；Wave equation

最早，Meizer首先认识到了承压含水层的可压缩性^［1］。传统上，承压含水层非稳定井流是建立在水压力瞬时传递的基础上。在抽水试验中，普遍可以观察到抽水孔的水位下降并不是立即引起观测孔的水位下降，即渗流场中水压力传递有一定过程，具迟滞性，它与含水层骨架介质特征、水的性质及水头差等有关。根据渗透性的阻尼理论^［2－3］，孔隙面壁可看作是黏性流体呈直线运动的障碍。实际上，正是因为介质的阻滞作用^［4－6］，水压力在多孔介质中的传递是有一定速度的。Muskat认为承压含水层水压力传递速度可类比于声速^［7］。Meinzer赞同上述观点，并认为水压力传递速度的定量标准与量测水平有关。由于骨架介质和水介质的可压缩性，介质对水压力有一个衰减和调整的过程，即滞后时间。本文拟从连续介质力学出发，推导出包含有惯性项的运动方程，得到水压力传递参数，并阐述其物理意义。

1.包括惯性项的运动方程

在这里，我们以多孔介质表征体元（REV）作为研究渗流规律的出发点，把单组分的水和多孔骨架看成是连续介质，并认为它们充满整个空间。根据这一观点，一般认为孔隙速度与比流量之间有以下关系^{［2、3、8］}:

这里，q为比流量，量纲LT为1；n为孔隙率，无量纲；v为孔隙流速，量纲LT^－1。式（1）有时称为Dupuit－Fochheimer方程。

设f（x，t）表示t时刻地下水渗流系统所具有的某种物理量（如质量、密度、动量、能量等。ρ表示系统密度，n表示系统的孔隙率，U（t）表示此系统在t时刻所占据的体积（图1），则由Renold输运方程^［2、8］有:

这里，U（t）为控制体的体积；v为孔隙流速；U（t）为系统体积；n代表控制体外法线方向。

图1　地下水渗流系统与控制体

Fig.1　The system and control volume of a aquifer

因为

又由＝0，对（3）式进行微分，并利用（1）、（2）有:

（4）式即为地下水渗流的连续方程。

为了得到运动方程，我们考虑包括质量m的任一单元体，让体积变化而其内部质量保持不变，则由此单元体的动量为:

对（5）式微分，并利用（2）有:

利用高斯定律，并考虑（4）与（1）有:

相当于作用在U（t）上所有力的合力，这些力分为面力，体力，渗透阻力σ（q）。

面力表达式为:

这里T＝T是个张量，n是外法方向。

_ij

对上式应用高斯定理有:

在传统流体力学中，只考虑了面力和体力。σ（q）与液体（水）的流动性质有关，它随压力、温度等变化。如水在多孔介质中无流动，则σ（q）＝0，再如n＝1时，σ＝0

由上，我们可以得到如下的运动方程:

在迪卡尔座标系中，令z的方向向上为正。设g为重力加速度，则U（t）内体积力为，单位体积力为－ρng。面力是由邻近表征微元体对该微元体的水压力，因而力只能作用在控制体U（t）上，面力。

现假定在地下水渗流场中渗透阻力σ与q呈线性关系（符合线性定律）。其比例系数为－；μ为动力黏滞系数，量纲ML^－1 T^－1；k为渗透率，量纲L²；则单位体积的渗透阻力

那么（8）式成为

达西定律的假定条件应用范围为层流状态且不考虑惯性项，ρ、v为常量。因＝0，div q＝0，因此div v＝0。（10）式成为

（11）式即为达西公式^［9］，因此它是特定条件下的近似定律。

（9）式中左边第一项上当地加速度项比第二项迁移加速度大得多。一般情况下，迁移加速度项可忽略不计；这样我们得到了包含当地加速度项的线性运动方程:

用水头表示之:

这里，K＝kρg/μ；k是渗透率，量纲L；μ为水的动力黏滞系数，量纲ML^－1 T^－1。

2.承压含水层水压力的传递

传统的达西方程（11）是一个线性的扩散方程，水压力是以无限速度传递的，即承压含水层的水位变化能瞬时传递到渗流场的各处。当然，实际承压含水层井水位的变化与观测井的响应有一滞后时间。这一滞后时间应与含水介质的性质及两个点的间距有关。

2.1　包括运动方程的物理意义

含有加速度项的地下水运动方程，是一衰减的波动方程，它包含有Kρ/μn这一时间单位项。在一般情况下，水的密度及黏滞系数是时间和压力的函数，但它们的变化有常压、常温范围内是很小的。我们设

方程（13）左边第一项q_t表示了由流场不稳定引起的流量变化。它类似于各向同性介质中热传导的时间滞后方程，这个方程由Cattaneo和Vernotte热力学分析研究工作中发现的^［9－10］。ε量纲为T，具有时间单位，它代表了这个滞后时间。

2.2　用水头表示的连续方程

ρ、n是多孔介质中水的压缩系数β（量纲N/L²）、骨架介质的压缩系数α（量纲N/L²）的函数，它们的变化可表示为:

这里p为静水压力，量纲N/L²。

将（15）式代入（14）式，并考虑到q·ρ＜＜ρ/t，则有:

在均质等温可压缩流场中，p＝p（t），其地下水头为

由（16）、（17）式可得:

这里S_s＝ρg［α（1－n）＋βn］是含水层的贮水率，量纲L^－1。

将运动方程（13）式代入（17）式中，并略去H的二次微分项，得到了以水头表示的连续方程:

，为拉普拉斯算子。

3.地下水压力传递的滞流效应

（19）式是地下水渗流包括惯性项的连续方程，它是一个衰减的波动方程^{［11－12］}，与传统的热传导方程有区别。根据波动方程的物理意义，其波动速度即对应于地下水渗流场中水压力传递的速度:

式中，C为水压力传递速度；S_s为含水层的贮水率；q为比流量，量纲LT^－1；n为孔隙率，无量纲；ε为水压力传递的滞后时间。

水压力传递速度C主要是S_s的函数，水和骨架介质的压缩性越大，水压力传递的速度便越小。一般来说，承压含水层从粉细砂到砾石水压力传递速度C为41～185m/s，小于声速；相应水压力传递的滞后时间速度ε很小，小于1s。

4.结语

承压含水层水压力传递性质与含水层骨架介质和水介质有关，其传递速度可表述为一般而言，颗粒越粗水压力传递速度越大，颗粒越细水压力传递速度越小。考虑了水压力传递的井流运动方程，应包括水压力传递参数项次，其与泰斯模型有区别。如当滞后时间ε很小时，可变为传统的承压含水层泰斯模型。因此，在粉砂砂为主的渗透性较低的含水层中水压力传递速度较小，滞后时间ε较长，考虑水压力效应的井流方程更能接近实际井流状况。

在水资源开与管理等一系列水事活动中，了解地下水运动中的水压力场的分布、时空变化尤为重要。在水文地质模型中考虑水压力传递滞流性的影响，无疑能使模型更为完善，以接近渗流场的实际压力分布情况，有利于减少抽水井开始一段时间内的计算误差，更为重要的是，在一定时段内，可以简化边界条件，亦即压力传递范围外的边界不会对渗流场中各种物理量（压力、密度、流量等）产生影响，这样可以大大减轻计算工作量，并提高了计算精度。

（中译英:卢玉东）

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［12］卢玉东，李佩成.考虑滞流作用的潜水变边界非稳定井流模型及求解［J］.灌溉排水学报2005（242）:27－30

【注释】

[1]作者简介:卢玉东，长安大学环境科学与工程学院教授，博导。