【摘要】：定理7.1: 针对可重构模块机器人子系统动力学模型式 (7.2)， 应用误差动力学方程式 与式 式 所示的参数自适应更新律， 能够实时检测出系统是否发生故障。 当系统未发生执行器或者传感器故障时，ei渐进收敛到零； 当系统发生执行器或者传感器故障时，ei则不能渐进收敛到零。
定理7.1: 针对可重构模块机器人子系统动力学模型式 (7.2)， 应用误差动力学方程式 (7.11) 与式 (7.24) ˜式 (7.26) 所示的参数自适应更新律， 能够实时检测出系统是否发生故障。 (1) 当系统未发生执行器或者传感器故障时，ei渐进收敛到零；(2) 当系统发生执行器或者传感器故障时，ei则不能渐进收敛到零。
证明: (1)当系统不发生执行器或者传感器故障时， 则定义Lyapunov函数为如下形式:
上式对时间的导数如下:
将式(7.8)、 式 (7.11) ˜式 (7.13)、 式 (7.18) ˜式 (7.20) 代入式 (7.28) 可以得到:
将式(7.23) ˜式(7.25) 代入式(7.29)，并且设λmin(Ii)是Ii的最小特征值， 由此可以得到:
因为由
， 则应用Chebyshev不等式可以得到:
将式 (7.21)、 式 (7.22)、 式 (7.26)、 式 (7.31) 代入式 (7.30)可得:
由假设7.6可以得到:
可知V(t)≤V(0)，所以ei有界。设函数
， 则其积分为:
因为V(0)有界且V(t)非增有下界， 由此可得:
由上式(7.35) 可知Φ∈L2，由于
，依据Barbalat引理可知
的时候Φ(t)→0，进一步得
t ，相应的
，故可以得出结论:ei按指数规律收敛到零。
(2)当传感器发生故障时
，因此
，即ei对故障敏感且不收敛到零。
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