模式的对称关系

11.2　模式的对称关系

一个围棋棋盘无论如何摆都是没有关系的，对弈双方坐在哪两个对边都是一样的。究其原因，就是围棋棋盘本身就是高度对称的，无论是从四条边还是四个角来看，都是一样的，没有任何区别，也就是说整个围棋棋盘是完全对称的。在这样一个高度对称的棋盘上，棋子的种类也非常单一，仅有两个颜色，且每个颜色也只有一种棋子，而棋子的功能也只有一种。由此，在对弈中，对于棋盘上任一个局部范围内的棋型，由于其对称而具有等价关系的棋型必然是经常出现的。

故而，在处理、计算模式的统计特性时，就不得不考虑到这些因素，将所有这种经过折叠、旋转、颜色的对调等变换后具有这种等价关系的模式一致看待，统一处理，由此，在计算模式的相关统计信息时，才能更加准确，更具有统计意义。

对于如图11.5所示的两个模式，尽管它们形式上有所不同，但它们本质上可以说是一个模式，对于模式A，如果以穿过右上角的黑子和左下角的白子为轴做180°翻转，便可以得到模式B；每个模式都可以按照这种方式翻转，除了可以以对角线为轴，还可以以垂直和水平线为轴，对于每个模式而言，共有8种翻转的组合方式，如图11.6所示就是图11.5中模式的其他6种翻转。当然，对于一些本身就具有一定对称性的模式来说，模式的一些翻转所产生的模式就可能会有所重合，如图11.7所示的模式就只有4种翻转方式。

图11.5　模式的翻转

图11.6　图11.5模式的其他翻转方式

图11.7　本身具有对称关系的模式的翻转

关于具体的翻转方法，我们可以建一个坐标轴，以3×3模式的中心点为原点，画一坐标轴。此外，我们在坐标轴上再画两条线y＝x和y＝-x，将模式以及其翻转后的等价模式围绕着x轴、y轴、y＝x和y＝-x翻转，这样我们便可以得到一个模式具有等价关系的8种棋形。

除了棋形的翻转之外，还要考虑颜色的对调。由于黑白是对称的，比如某个棋形对白棋来说是好棋，那么如果将这个棋形中的黑白子对调，则对黑棋来说就也是好棋。如上述模式，是用来启发黑子下棋，模式的中心点就是黑色，但是当启发白子下棋的时候，就可以通过将模式中棋子的颜色进行变换来指导下棋。如图11.8所示是眼的模式，尽管两个模式分别针对一黑一白，但是如果不考虑颜色，则两个棋形是相同的。

图11.8　颜色对调

明确了上述问题之后，当我们考虑一个模式的时候，就需要考虑到它的16种不同的等价形式，将这16种等价形式一致对待，一方面节省了存储的空间，另一个更重要的方面，就是在对抽取的模式的统计信息进行计算时，更加具有统计意义。