第节，矩阵的运算

(1/8) 矩阵的加法

（1）定义 设  和  是  的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A + B ，规定为：   注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算 （2）加法的运算法则 （i） （ii） （3）矩阵减法 设矩阵，记，称为矩阵A的负矩阵，显然有 由此规定矩阵的减法为  即： 

(2/8) 矩阵数乘

（1）定义 数与矩阵的乘积（称之为数乘），记作 或，规定为   （2）数乘矩阵的运算规律 （i） （ii） （iii）

(3/8) 矩阵与矩阵相乘

（1）定义 设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积为一个 的矩阵 ，其中  . 并把此乘积记作  注：（i）只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB； （ii）矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数； （iii）矩阵C=AB在位置上的元素等于A的第行元素与B的第列对应元素的乘积之和。 （2）矩阵的幂 设是阶矩阵，定义： , 其中，是正整数；特别规定 . 由于乘法成立分配律结合律，有  ， （3）矩阵相乘的注意事项 （i）矩阵乘法一般没有交换律，即，若对于两个n阶方阵A、B，，则称A与B是可交换的； （ii）不可将关于数的代数恒等式或命题等价到矩阵相乘，例如，设A，B，C均为n阶方阵，则 ；； （k为自然数）； 上述关系当且仅当矩阵A与B可交换才成立； （iii）不是一定有 或；若，而，不能得出；矩阵，但有可能成立。 （4）矩阵相乘的运算法则 （i）（ii）（其中为数） （iii）， （5）重要公式 

(4/8) 矩阵转置的运算规律

（1）； （2）； （3） 是常数； （4） 例题：设列矩阵满足，E为n阶单位阵，，证明H是对称阵，且。 证明过程如下：   所以H是对称阵。 

(5/8) 方阵的行列式的运算规律

（1） （2） （3） 注：对于n阶矩阵A，B一般来说，但总有

(6/8) 共轭矩阵的运算规律

（1） （2） （3）

(7/8) 关于伴随矩阵的运算规律

（1）设A是n阶方阵,是A的伴随矩阵，则  （2） （3） （4）； （5） （6）若A可逆，则 

(8/8) 分块矩阵的运算法则

（1）定义 矩阵分块是将矩阵用任意的横线和纵线切开，例如 ，下面给出它的三种分法， （i）；令，，，，则。 （ii）；令，， ，，，。 则。 （iii）。令，， ，，则。 (2) 关于分块矩阵的运算法则 (i)   (ii)   (iii)  (iv)  (v)   (vi) 如果AB=C,其中A是矩阵，B是矩阵，那么对矩阵B,C按行分块有   可见矩阵AB行向量可由B的行向量线性表出。 类似的，对矩阵A,C按列分块，有  即 说明矩阵AB的列向量可由A的列向量线性表出。