【摘要】：合同的定义 设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使，则称矩阵A与B合同．记作。两矩阵合同的充分条件： 实对称矩阵A合同B的充分条件是：因为若，则A，B具有相同的特征值，从而二次型矩阵、具有相同的标准形，即有相同的正负惯性指数，从而A与B合同。
(1/2) 合同矩阵的概念和性质
（1）合同的定义 设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使
，则称矩阵A与B合同．记作
。 注：任一实对称矩阵必合同于一对角矩阵。 （2）合同矩阵的性质 若A为对称阵，则
也为对称阵，且
． 事实上，
即B为对称阵．又因为
，而C可逆，从而
也可逆，由矩阵秩的性质即知
. 由此可知，经可逆（满秩）变换x=Cy后，二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵
，且二次型的秩不变．
(2/2) 两矩阵合同的条件
（1）两矩阵合同的充分必要条件： 实对称矩阵A合同B的充要条件是：二次型
与
有相同的正、负惯性指数。 （2）两矩阵合同的充分条件： 实对称矩阵A合同B的充分条件是：
因为若
，则A，B具有相同的特征值，从而二次型矩阵
、
具有相同的标准形，即有相同的正负惯性指数，从而A与B合同。 （3）两矩阵合同的必要条件： A与B合同的必要条件是r(A)=r(B)
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