【摘要】：当特征值有重根时，要检查特征向量是否正交，否则必须对的特征向量用Schmidt正交化法进行处理，这样才能构造出正交矩阵P。仅当矩阵是实对称矩阵时才能用正交变换化为对角形，当A不是实对称矩阵时，特征值不同的特征向量没有正交性，即使用Schmidt正交化后，亦不再是特征向量，也就不能构造矩阵P。
(1/3) 实对称矩阵的定义
元素
都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。
(2/3) 实对称矩阵的特征
（1）实对称矩阵必可相似对角化; （2）特征值全是实数，特征向量都是实向量； （3）不同特征值的特征向量相互正交； （4）
重特征值必有
个线性无关的特征向量，或者说秩
；
(3/3) 用正交矩阵化A为相似标准形的步骤
用正交变换化A为相似标准形，基本步骤与“相似对角化A为对角矩阵
的解题步骤”相似，只是要保证P是正交矩阵，为此当求出特征向量之后应改造特征向量。 （1）当A的特征值互不相同时，仅需要把特征向量单位化就可构造矩阵P。 （2）当特征值有重根
时，要检查特征向量是否正交，否则必须对
的特征向量用Schmidt正交化法进行处理，这样才能构造出正交矩阵P。 注：（1）做题的时候切记要单位化，或者对重特征值要进行判断。 （2）仅当矩阵是实对称矩阵时才能用正交变换化为对角形，当A不是实对称矩阵时，特征值不同的特征向量没有正交性，即使用Schmidt正交化后，
亦不再是特征向量，也就不能构造矩阵P。
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