欧姆定律的验证及应用

项目3　直流电路定律的验证与使用

引　言

在搭建实际电路之前，为了确保电路参数的正确性和合理性，应该首先建立电路模型，采用相关电路定律对电路进行分析和计算，确定各物理参数的取值并对电路中各物理量之间的关系有所了解。因此，具备一定的电路分析能力和直流电路的基础知识就显得尤为重要，本项目主要通过实验验证的手段学习直流电路的几个重要定律。

知识目标

1.熟悉相关直流电路定律，包括欧姆定律、基尔霍夫定律和戴维南定律。

2.熟练运用相关直流电路定律求解电路。

技能目标

1.具备使用直流电路定律分析和解决电路问题的能力。

2.具备一定的数学计算能力。

课前知识准备

1）电路模型

对于日常生活所接触的实际电路，可采用数字万用表等仪器对电路进行测量，从而获得电路中各个物理量之间的关系，明确电路的工作原理。然而，实际电路中的元器件由于受到外界因素（如化学、热等）的影响，势必将对电路分析的可靠性和一致性带来一定的麻烦。因此，为了给电路分析带来方便，通常可将实际电路和元器件理想化，在一定条件下突出其电磁方面的性质，忽略影响它们的化学、热等因素，而把实际元器件近似视为理想电路元件，由理想电路元件组成的电路就是实际电路的电路模型。

以后所说的电路均是这种抽象了的电路模型，元器件均是理想的电路元件。如表3- 1所示为几种常用的理想电路元件的电路符号。

表3- 1

表格中的理想电压源和理想电流源是从实际电源（如电池、发电机等）抽象得到的电路模型。

（1）理想电压源

电源是电路获得电压的原因，因此电源可表示为电压的形式，如图3- 1所示。将这种电路模型称为理想电压源模型。

由于电源也要消耗能量，从电压的角度来看，电源内部要有一定的电压降，可用电阻分压的形式表示，如图3- 2所示的电阻RS，将此电阻称为内电阻，而将如图3- 2所示的电路模型称为实际电压源模型。在很多场合，由于内电阻RS可以忽略，因此，实际电压源模型可简化成为理想电压源模型，即如图3- 1所示的电路模型。

图3- 1

图3- 2

（2）电流源

电源又是电路获得电流的原因，因此电源还可表示为电流的形式，如图3- 3所示。将这种电路模型称为理想电流源模型。

由于电源也要消耗能量，从电流的角度来看，电源内部需要分去一部分电流，可用电阻分流的形式表示，如图3- 4所示的电阻RS，将此电阻称为内电阻，而将如图3- 2所示的电路模型称为实际电流源模型。在很多场合，由于内电阻RS可以忽略，因此，实际电流源模型可简化成为理想电流源模型，即如图3- 3所示的电路模型。

图3- 3

图3- 4

2）参考方向

在电路模型建立之后，往往还不知道电路中的电流和电压的方向，为了便于分析，通常人为地预先规定一个电流和电压的方向，并将这个方向称为参考方向。参考方向可以任意指定，但是参考方向不一定就是电路中电流和电压的实际方向。

（1）电流参考方向

在如图3- 5所示的部分电路中，元件下方的有向线段表示流过该元件的电流的参考方向是从A端子到B端子的。当然，这个参考方向并不就是电流的实际方向。

对于图3- 5，如果电流的实际方向是从A端子到B端子，即电流的实际方向与参考方向一致，那么，电路中的I＞0，否则I＜0。

因此，只要能够计算出参考电流的数值，就可以得出实际电流的大小和方向。例如，如果假设图3- 5中器件的电流的参考方向是从A端子到B端子，并通过计算得出I＝4 A，那么这段部分电路上的实际电流的方向就是从A端子到B端子的，电流的大小为4 A；如果计算出的I＝- 4 A，那么，实际电流的方向则是从B端子到A端子的，电流的大小为4 A。

电流的参考方向可用箭头加上电流符号的形式表示，如也可使用电流符号与下标组合的方式表示，如IAB，表示电流的参考方向是从A端子到B端子的。对于图3- 5而言，I＝IAB。

（2）电压参考方向

如图3- 6所示的部分电路，电压的参考方向是由标示有“＋”的端子指向标示有“-”的端子，即A端子到B端子。这个参考方向并不就是电压的实际方向。

图3- 5

图3- 6

对于图3- 6，如果电压的实际方向确实是从A端子到B端子，即电压的实际方向与参考方向一致，那么，电路中的U＞0，否则U＜0。

因此只要能够计算出参考电压的数值，就可以得出实际电压的大小和方向。例如，如果假设图3- 6中器件的电压的参考方向是从A端子到B端子，并通过计算得出U＝5 V，那么，这段部分电路上的实际电压的方向就是从A端子到B端子的，电压的大小为5 V；如果计算出的U＝- 5 V，那么，实际电压的方向则是从B端子到A端子的，电压的大小为5 V。

电压的参考方向可用“＋”“-”和电压符号的形式表示，如＋U -，也可使用电压符号与下标组合的方式表示，如UAB，表示电压的参考方向是从A端子到B端子的。对于图3- 6而言，U＝UAB。

（3）关联参考方向

一个元件的电流或电压的参考方向可以独立且任意指定。如果元件上电流的参考方向与电压的参考方向一致，那么就把这种相同的参考方向称为关联参考方向，如图3- 7所示。如果指定的电流的参考方向与电压的参考方向相反，就把它们的这种相反的参考方向称为非关联参考方向。

图3- 7

为了方便分析电路，建议将电路中理想元件的电压和电流的参考方向取作关联参考方向（理想电源除外^[1]）。

任务1　欧姆定律的验证及应用

任务分析

欧姆定律是直流电路分析的基础，本任务旨在通过实验的方式验证欧姆定律。

任务工具准备

①计算机。

②互联网。

③图书资料。

④直流电路设备及线材。

任务描述

如图3- 8所示，取R＝200 Ω，US＝6 V，调节电位器R1，使电压表读数分别为2 V，4 V，6 V，并分别记录电流表的读数。

图3- 8

任务引导性实施行动

①将学生分成若干小组，以小组为单位，每组成员进行分工，包括任务负责人、安装人员、验收人员以及测量人员等，由任务负责人统筹负责整个任务的顺利实施。

②全组人员通过讨论等方式，了解如图3- 8所示电路的基本原理，并回答如表3- 2所示的问题。

表3- 2

③全组人员根据电路图确认元器件清单，并填入表3- 3中。

表3- 3

④器件备齐后，由任务负责人填写电路安装注意事项表（见表3- 4），包括可变电阻R1、电压表、电流表等器件及设备的接线方式，并由组员讨论通过。

表3- 4

⑤全组人员共同确定电路的安装步骤，并由安装人员负责实施安装。

⑥安装完毕后，安装人员在确认安装无误的情况下，将电路提交验收人员进行验收。验收人应编写相应的验收报告（见表3- 5），并提交任务负责人及所有组员审核；若验收环节发现问题，验收人员应编写问题点反馈表（见表3- 6），并提交安装人员进行解决，直至电路验收通过。在此过程中，项目负责人和其他组员应监督验收人员以及安装人员的工作是否到位。

表3- 5

表3- 6

⑦根据任务描述要求，测量人员完成如表3- 7所示的填写工作。

表3- 7

⑧根据表3- 7中一栏的计算结果，全组人员通过讨论的方式，将实验结论及造成实验误差的原因填入表3- 8中。

表3- 8

知识点掌握情况评价表

根据任务引导性实施行动，通过教师评价或学生互评的方式，对学生的操作情况及知识掌握情况做出评价，并填入表3- 9中。

表3- 9

续表

相关知识与技能

图3- 9

1）欧姆定律

如图3- 9所示，若理想的线性电阻R上的电压和电流取关联参考方向，那么，该电阻上的电压与电流存在如下关系即电流与电压成正比。

2）电阻的串联、并联和混联

对于n个电阻R1，R2，…，Rn的串联组合，可以使用Req等效（见图3- 10），即

图3- 10

对于n个电阻R1，R2，…，Rn的并联组合，可以使用Req等效（见图3- 11），即

图3- 11

当电阻的连接中既有串联又有并联时，称为电阻的混联，也可以使用Req等效。如图3- 12所示的电路即为混联电路，R2与R3并联后，再与R1串联，故

图3- 12

如图3- 13所示，对于较为复杂的电阻混联方式，还可通过晾衣法、星形—三角形（Y—△）等方法进行等效变换，详见附录。

图3- 13

想一想

1.对于非线性电阻，欧姆定律是否成立？

2.如图3- 14所示，若理想的线性电阻R上电压和电流取非关联参考方向，那么，该电阻上的电压与电流存在何种关系？

图3- 14

任务2　基尔霍夫定律的验证及应用

任务分析

基尔霍夫定律是电路分析中最基本也是最重要的定律之一，它概括了电路中电流和电压必须遵循的基本规律。基尔霍夫定律包含基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）。本任务旨在通过实验的方式验证KVL 和KCL。

知识准备

1）支路

如图3- 15所示，支路是指流过同一电流的无分支电路。因此，该电路图中有6条支路，分别是每个元件所在的电路。

2）结点

结点是指支路的连接点，对于如图3- 15所示的电路，一共有4个结点，分别用①、②、③、④表示。

3）回路

图3- 15

回路是指由支路构成的闭合路径，对于如图3- 15所示的电路，一共有6个回路，分别是：

①支路（1，2）。

②支路（4，5）。

③支路（2，3，4，6）。

④支路（1，3，4，6）。

⑤支路（2，3，5，6）。

⑥支路（1，3，5，6）。

4）网孔

网孔是指内部不包含支路的回路，对于如图3- 15所示的电路，共有3个网孔，分别是：

①支路（1，2）。

②支路（4，5）。

③支路（2，3，4，6）。

任务工具准备

①计算机。

②互联网。

③图书资料。

④直流电路设备及线材。

任务2. 1　基尔霍夫电压定律（KVL）的验证及应用

任务描述

如图3- 16所示，取US＝5 V，R1＝100 Ω，R2＝R3＝200 Ω，电路中电压的参考方向均已标出，使用数字万用表测量出U1，U2，U3的数值。

任务引导性实施行动

①将学生分成若干小组，以小组为单位，每组成员进行分工，包括任务负责人、安装人员、验收人员以及测量人员等，由任务负责人统筹负责整个任务的顺利实施。

图3- 16

②全组人员通过讨论等方式，了解图3- 16的基本原理。

③全组人员根据电路图确认元器件清单，并填入表3- 10中。

表3- 10

④器件备齐后，全组人员共同讨论，并由任务负责人填写电路安装注意事项表，如表3- 11所示。

表3- 11

⑤全组人员共同确定电路的安装步骤，并由安装人员负责实施安装。

⑥安装完毕后，安装人员在确认安装无误的情况下，将电路提交验收人员进行验收。验收人应编写相应的验收报告（见表3- 12），并提交所有组员审核；若验收环节发现问题，验收人员应编写问题点反馈表（见表3- 13），并提交安装人员进行解决，直至电路验收通过。在此过程中，项目负责人和其他组员应监督验收人员以及安装人员的工作是否到位。

表3- 12

表3- 13

⑦根据任务描述要求，测量人员完成如表3- 14所示的填写和计算工作。

表3- 14

⑧通过表3- 14中“U1＋U2＋U3 - US”一栏的计算结果，全组人员通过讨论的方式，将实验结论填入表3- 15中。

表3- 15

任务2. 2　基尔霍夫电流定律（KCL）的验证及应用

任务描述

搭建如图3- 17所示的电路，取US＝2 V，R1＝100 Ω，R2＝R3＝200 Ω，电路中电流的参考方向均已标出，使用数字万用表的直流电流挡位测量出I1，I2，I3的数值。

图3- 17

任务引导性实施行动

在任务2. 1的基础上，各小组完成图3- 17的安装，并按照任务2. 1所述的范例自拟相关表格，将实验数据和结论填入相应表格中。在以上步骤的基础上，测量人员完成如表3- 16所示的填写和计算工作。

表3- 16

通过表3- 16中“I1 - I2 - I3”一栏的计算结果，全组人员通过讨论的方式，将实验结论填入表3- 17中。

表3- 17

知识点掌握情况评价表

根据任务引导性实施行动，通过教师评价或学生互评的方式，对学生在任务1和任务2中的操作情况和知识点掌握情况分别做出评价，并填入表3- 18中。

表3- 18

相关知识与技能

1）基尔霍夫电压定律（KVL^[2]）

通过任务2. 1的实验数据可知，在电路不存在误差的情况下，U1＋U2＋U3 - US＝0，即在测试回路中，按照顺时针方向绕行一圈，所有器件的电压代数和等于零。这也正是KVL所要表达的观点。

基尔霍夫电压定律是指：任何时刻对于任一回路，沿顺时针或逆时针方向绕行一圈，所有器件的电压的代数和恒等于零，即∑U＝0。

所谓代数和，是指当回路的绕行方向确定后，凡器件电压的参考方向与绕行方向一致的，其电压前的符号取“＋”，否则取“-”。

如图3- 18所示，对支路（1，2，3，4）构成的回路列写KVL方程时，需要先指定各器件电压的参考方向和回路的绕行方向（顺时针或逆时针）。绕行方向常用有方向的闭合线段表示，所有器件的电压分别用U1，U2，U3，U4，U5，U6表示，它们的参考方向如图3- 18所示。

图3- 18

根据KVL的描述，对支路（1，2，3，4）构成的回路列写的KVL方程为

2）基尔霍夫电流定律（KCL^[3]）

通过任务2. 2的实验数据可以发现，在电路不存在误差的情况下，I1 - I2 -I3＝0（I1＝I2＋I3）。因此，在如图3- 17所示的测试电路中，对于结点①，流入此结点的电流之和（I1）恒等于流出该结点的电流之和（I2＋I3）。这也正是KCL所要表达的观点。

基尔霍夫电流定律（KCL）是指：任何时刻，对于任一结点，流入此结点的电流之和恒等于流出该结点的电流之和，即

图3- 19

如图3- 19所示，对结点列写KCL方程时，需要先指定与结点相关的各支路电流的参考方向。所有支路的电流分别用I1，I2，I3，I4，I5，I6表示，它们的参考方向如图3- 19所示。分别对结点①、②、③、④列出的KCL方程为

结点①：I1＝I2＋I3

结点②：I3＝I4＋I5

结点③：I2＋I6＝I1

结点④：I4＋I5＝I6

3）使用KVL和KCL的注意事项

①对一个电路应用KVL或KCL前，应先对电路做如下处理：

a.指定各支路的电流和器件电压的参考方向，一般电压和电流取关联参考方向（电源除外）。

b.对于KVL，应指定回路的绕行方向。

c.对于KCL，应对各个结点编号。

②KVL与KCL所适用的电路应是集总电路，即对于电路的任一元件，流入的电流一定等于流出的电流，同时元件的电压均为单值量。

③KVL与KCL仅与电路的连接有关，而与电路或元件的性质无关。无论元件是线性的还是非线性的，时变的还是时不变的，KVL与KCL均成立。

想一想

1.造成任务2. 1和任务2. 2的测量数据误差的原因有哪些？

2.如图3- 20所示的电路，对于结点④列出KCL方程，并考虑此结果是否存在问题？

3.如图3- 21所示的电路，对于支路（1，2，3，4）构成的回路列出KVL方程，并考虑此结果是否存在问题？

图3- 20

图3- 21

做一做

KVL和KCL的验证

1.如图3- 22所示的电路，调节稳压电源，使其输出电压E1，E2满足如表3- 19所示的要求。

图3- 22

表3- 19

2.取R1＝300 Ω，R2＝150 Ω，R3＝100 Ω，各电流表量程均为50 mA，检查无误后接通电源。读出各电流表的指示值，填入表3- 19中，针对结点A验证KCL，并与理论计算进行比较。

3.用直流电压表分别测量回路①和回路②的各段电压，填入表3- 20中，验证KVL，并与理论计算进行比较。

表3- 20

4.请将最终的实验结论填入表3- 21中。

表3- 21

5.理论计算（求I1，I2，I3，UAB，UBC，UCA，UAD，UDB，UBA，并验证KVL，KCL）：

①E1＝E2＝9 V情况下。

②E1＝9 V，E2＝7. 5 V情况下：

任务3　戴维南定律的验证及应用

任务分析

对于仅由电阻构成的部分电路，可通过串联、并联、混联以及星形—三角形等效变换的形式，将该电阻网络简化成为Req的形式，这种变换称为电阻网络的等效变换，变换后的电路称为电阻网络的等效电路，如图3- 23所示。

图3- 23

在分析电路时，通常还会碰到由独立电源和电阻网络构成的比较复杂的部分电路，如图3- 24所示的虚框部分电路。能否将该电路也进行化简？它的等效电路又是什么？本任务介绍的戴维南定律将回答这个问题。

图3- 24

任务工具准备

①计算机。

②互联网。

③图书资料。

④直流电路设备及线材。

任务描述与要求

分别搭建如图3- 25和图3- 26所示的电路，取Us1＝10 V，Us2＝6 V，Uoc＝8 V，R1＝R2＝1 000 Ω，R3＝R′3＝510 Ω，Req＝500 Ω，使用数字万用表分别测量出两电路中的U3，I3以及U′3，I′3。

图3- 25

图3- 26

任务引导性实施行动

①将学生分成若干小组，以小组为单位，每组成员进行分工，包括任务负责人、安装人员、验收人员以及测量人员等，由任务负责人统筹负责整个任务的顺利实施。

②全组人员通过讨论等方式，了解图3- 25和图3- 26的基本原理。

③全组人员根据电路图，确认元器件清单，并填入表3- 22中。

表3- 22

续表

④器件备齐后，由任务负责人填写电路安装注意事项表，如表3- 23所示。

表3- 23

⑤全组人员共同确定电路的安装步骤，并由安装人员负责实施安装。

⑥安装完毕后，安装人员在确认安装无误的情况下，将电路提交验收人员进行验收。验收人应编写相应的验收报告（见表3- 24），并提交所有组员；若验收环节发现问题，验收人员应编写问题点反馈表（见表3- 25），并提交安装人员进行解决，直至电路验收通过。在此过程中，项目负责人和其他组员应监督验收人员以及安装人员的工作是否到位。

表3- 24

表3- 25

⑦根据任务描述要求，测量人员完成如表3- 26所示的填写和计算工作。

表3- 26

⑧通过表3- 26中的测量结果，全组人员通过讨论的方式，回答如表3- 27所示的问题。

表3- 27

知识点掌握情况评价表

通过任务引导性实施行动，请通过教师评价或学生互评的方式对学生在任务3中的操作情况和知识点掌握情况分别做出评价，并填入表3- 28中。

表3- 18

相关知识与技能

1）二端网络

通过引出一对端子与外电路连接的电路称为二端网络，如图3- 27所示的虚框部分电路，通常二端网络用符号NS表示。

图3- 27

2）外电路

二端网络以外的电路被称为外电路，如图3- 27所示虚框以外的电路（R5与R6串联的电路）。

3）戴维南定律

戴维南定律指出：“对于一个含有独立电源、线性电阻的二端网络NS，对外电路而言，可以用一个电压源和电阻串联的方式等效变换。变换后的等效电压源的电压等于二端网络的开路电压，用Uoc表示；变换后的等效电阻等于二端网络内部全部独立电源‘置零’后的等效电阻，用Req表示。”，如图3- 28所示。

图3- 28

因此，根据戴维南定律的叙述，如图3- 27所示电路中虚框内部的二端网络可以等效为一个电压源和电阻串联的方式，如图3- 29所示。

图3- 29

4）Uoc及Req的求取方法

（1）U

图3- 30

将外电路断开后，与外电路连接的端子上出现的电压即为Uoc，如图3- 30所示。

（2）Req

求取Req过程中，独立电源“置零”是指：对于理想电压源模型，将其作短路处理（使用一根导线将其替代）；对于理想电流源模型，将其作断路处理（将其去掉）。

5）对外等效原则

用戴维南定律将NS等效变换后，外电路中的电压和电流均保持不变，这种等效变换称为对外等效。

6）戴维南定律实际应用举例

如图3- 31所示的电路，已知US1＝10 V，US2＝6 V，R1＝R2＝1 000 Ω，R3＝510 Ω。求虚框中的戴维南等效电路。

图3- 31

根据戴维南定律，如图3- 31所示的电路可等效为如图3- 32所示的电路。

图3- 32

（1）求取Uoc

求取Uoc的等效电路如图3- 33所示，通过计算，电路中I＝0. 002 A，故

?

（2）求取Req

求取Req的等效电路如图3- 34所示，通过计算，Req＝500 Ω。

图3- 34

想一想

简述使用戴维南定律的好处。

【注释】

[1]由于理想电源的特殊性，其电流和电压的参考方向均为非关联参考方向。

[2]KVL——Kirchhoff’s Voltage Law。

[3]KCL——Kirchhoff’s Current Law。