一个不等式的解集

情况简介

1.题目来源

题目源于上海市嘉定一中高三年级2014年10月15日平时测验卷第19题：设函数f（x）＝ln（x2－x－6）的定义域为A，集合B＝请你写出一个一元二次不等式，使它的解集为A∩B，并说明理由。

我们可以得到A∩B＝（3，4），于是问题最终为——请你写出一个一元二次不等式，使它的解集为（3，4），并说明理由。

从答卷情况来看，学生很容易找到一个一元二次不等式，他们给出的理由经归纳基本上集中在以下两个。

理由1：从代数形式出发

我们知道一个一元二次多项式可以写成两个一次因式的乘积。那么让我们先看两个一次因式（x－3）和（x－4）。当且仅当x∈（3，4）时，（x－3）和（x－4）异号，即（x－3）·（x－4）＜0，于是就构造了这样一个一元二次不等式x2－7x＋12＜0。

理由2：从函数图像出发

由一元二次不等式联想一元二次函数y＝（x－3）·（x－4），通过对该函数图像的分析，如图1，发现当且仅当x∈（3，4）时，函数值y＝（x－3）·（x－4）＜0，即也构造了这样一个一元二次不等式x2－7x＋12＜0。

图1

基于上述两条寻找不等式路径的研究基础，我们便可以得到无数个一元二次不等式，形如a·（x2－7x＋12）＜0，a＞0或b·（x2－7x＋12）＞0，b＜0。

2.课题确定

高中学段，学生不仅仅学习了一元二次不等式，所以，从代数形式出发，我们还可以引导学生写出其他解集为（3，4）的不等式，如分式不等式、绝对值不等式等。

另外，除一元二次函数外，学生还在高一年级学习了幂、指、对数函数、三角函数和反三角函数等，那么我们可以引导学生运用函数图像的变换以及数形结合的思想构造一些其他的不等式。

从以上两个角度开展教学，可以从一个问题出发，因势利导，这样既复习了一连串的不等式和函数，又可以培养学生的发散思维、数形结合思想等。

于是，确定了本课题所研究的问题是：写出一个不等式，使它的解集是（3，4）。

文化教育价值

1.思想的力量：

结合所学过的函数，运用数形结合思想可以构造出大量的不等式。

2.逻辑的思辨：

设置了辨析，判断一些不等式的解集是否是（3，4）。

3.情感体验：

通过自主探究，体验获得丰富成果的欣喜。

教学设计

教学目标：

简单回顾一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式、无理不等式、绝对值不等式；

简单回顾一元一次函数、一元二次函数、正比例函数、反比例函数、幂指对数函数、三角函数、反三角函数；

能运用批判性思维对几个相关不等式进行辨析；

能灵活运用函数图像的变换、数形结合思想对问题进行探究；

体验利用函数图像构造不等式的探究过程，感受数形结合思想在问题解决中的魅力。

教学方法：

本课探究的问题是：写出一个不等式，使它的解集是（3，4）。

主要教学方法有：设置辨析、自主探究

在本课中设计以下两条探究路径：由不同形式不等式出发进行探究；由函数图像的变换出发进行探究。

“由不同形式不等式出发进行探究”的教学方法，使学生在教师引导下循序渐进地掌握知识，这其中，有变式设计、有教师追问。

这里，首先和学生一起回顾曾经学过哪些不等式，然后要求学生逐一地写出以下五类形式的不等式——一元二次不等式、一元高次不等式、无理不等式、分式不等式、绝对值不等式，使它们的解集是（3，4）。尔后教师适当地补充一些变式与追问，让学生运用批判性思维对教师所给出的几个相关不等式进行辨析，借此再度强化有关不等式解法的注意点，以及培养学生从特殊到一般的求知态度。

“由函数图像的变换出发进行探究”的教学方法，是学生在教师引导下自主探究，这其中，有教师范例、有学生汇报交流。

这里，我们首先做一个承上启下的工作。由不同形式不等式出发进行探究路径中所得到的一个绝对值不等式出发（即），教师顺势引导到V字形函数图像，并点拨该图像可以看成是由一次函数或正比例函数图像经过图像变换得来的，于是顺利地过渡到这第2条探究路径——由函数图像的变换出发进行探究。

接着和学生一起简单回顾学过哪些函数，并请学生由函数图像的变换这样一个角度出发对本问题进行自主探究。

教师观察学生自主探究情况，并请个别学生汇报交流探究结果。

课堂中，教师可以根据学生汇报交流的情况视是否需要再给出一个范例，以带领学生对有些刻意回避的障碍迎难而上，从而引导学生做更深入的探究。

教学过程：

1.呈现问题

我们看最近这份测验卷的第19题：

设函数f（x）＝ln（x2－x－6）的定义域为A，集合B＝请你写出一个一元二次不等式，使它的解集为A∩B，并说明理由。

这个问题并不难，除了极个别学生有计算错误，全班绝大多数学生都做对了。

那么这样一个没有难度的问题，我们为什么要拿来重提呢？

题目要求我们写出一个一元二次不等式，这便容易了。

可是我们当然知道，解集是（3，4）的不等式并不仅仅只有一元二次不等式，还有很多很多其他的不等式。

于是，这便引出了今天我们要研究的问题：

请写出一个不等式，使它的解集是（3，4）。

2.问题探究

环节1：由不同形式不等式出发进行探究

首先和学生一起回顾，我们曾经学过哪些不等式？——一元二次不等式、一元高次不等式、无理不等式、分式不等式、绝对值不等式。

然后，请学生自己尝试逐一写出以上不等式，使得它们的解集是（3，4）。

一元二次不等式：

学生在试卷上已经给出了（x－3）（x－4）＜0、x2－7x＋12＜0等形式的不等式。这里，可以进一步向学生提出将这些一元二次不等式一般化。

从不等式x2－7x＋12＜0出发，得到更一般的不等式：a·（x2－7x＋12）＜0，a＞0或b·（x2－7x＋12）＞0，b＜0。

一元高次不等式：

学生一般都能够写出这个不等式x2（x－3）（x－4）＜0。

接着，我们可以再给出如下两个不等式让学生辨析。

如x2（x－3）（x－4）≤0、＜0，它们的解集是（3，4）吗？我们可以发现，这两个不等式的两个不等式的解集都不是（3，4）。

不等式x2（x－3）（x－4）≤0的解集为［3，4］∪｛0｝；

不等式的解集为

于是我们进一步可以反思，思考更一般的，形如（x－a）2（x－3）（x－4）＜0的不等式，如果使得解集为（3，4），那么实数a取值范围是什么？a∈（－∞，3］∪［4，＋∞）。

无理不等式：

一般学生都能写出这个不等式

随后教师可以给出如下一些不等式让学生辨析。

于是我们同样进一步可以反思。

思考更一般的形如（x－a）2的不等式，如果使得解集为（3，4），那么实数a取值范围是什么？a∈（－∞，3］∪［4，＋∞）。

分式不等式：

一般学生都能写出这样的不等式

接着教师同样可以给出如下一些不等式让学生辨析。

如≤0这些不等式的解集（3，4）吗？

它们的解集分别是（3，4）、（3，4）∪｛0｝、（3，4）、（3?）∪

这里我们进一步提出更一般化的问题。如，使不等式≤0解集为（3，4），那么实数a取值范围是什么？a∈［3，4］。

绝对值不等式：

由绝对值联想到实数轴上两点之间的距离，学生还是容易想到这样

一个绝对值不等式

不过这时教师可以顺势引导到V字形函数图像，并点拨该图像可以看成是由一次函数或正比例函数图像经过图像变换得来的（复习一下函数图像的变换），如下面的图2、图3。

图2

图3

这样就可以顺利引导到下一环节——运用数形结合思想，借用函数构造不等式。

环节2：由函数图像的变换出发进行探究

接下来我们尝试运用数形结合思想，利用所学过的函数构造一个不等式，使它的解集是（3，4）。

回顾一下，我们所学过的函数有：一元一次函数、一元二次函数、正比例函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

教师引导部分：

对于上述绝对值不等式，我们可以利用一元一次函数或正比例函数y＝x构造所得。

为了让学生更进一步明确下一步探究的方法与目标，接下来教师和学生一起从一个对数函数的图像出发，来构造一个不等式，使得它的解集是（3，4）。

我们可以考虑从对数函数y＝log2x出发。

让我们来观察函数y＝log2x的图像，如图4，不等式log2x＜0的解集为（0，1），区间长度刚好是1。

图4

我们只需将函数图像向右平移3个单位，如图5，就可以得到区间（3，4）。

图5

故我们可以构造不等式log2（x－3）＜0，这样该不等式的解集即为（3，4）。

让我们再一起来看这样一个函数y＝|log2x|，它是将函数y＝log2x的图像经图像变换而得。接下来，我们从这个函数出发构造一个不等式。

方法1：参考图6，利用函数y＝|log2x|图像，先构造一个区间长度为1的不等式。

图6

图7

由数形结合思想，设该区间长度为1的不等式形如|log2x|＜a。

接下来我们利用函数y＝|log2x|和函数y＝a图像，运用数形结合思想来构造不等式|log2x|＜a。

借助图6，我们先看方程|log2x|＝a的两根x＝2－a和x＝2a，使2a－2－a＝1，于是有2－a＝

这样不等式|log2x|＜log2的解集为这是一个单位长度为1的解集。我们只需将函数图像向右平移3－，这样就可以构造出如下不等式：，其解集即为（3，4）。

为快速地验证我们探究的结果是否正确，我们可以借助于图形计算器，快捷地得到结果，见图7。

方法2：参考图8，我们还可以从函数y＝|log2x|图像出发，先构造一个解集为区间（3，m）形式的不等式。

我们不妨构造一个形如|log2（x－a）|＜1的不等式。

图8

为使解集，即区间的左端点为3，结合图像，见图8，我们可以计算出a＝。

图9

学生自主探究：

提示学生自己尝试，可以利用反比例函数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数的图像构造不等式。课堂上请个别学生交流探究结果。

对于学生构造的不等式，我们可以借助于图形计算器进行快速检验其正确性。

图10

图11

见图10、图11，可以利用指数函数y＝2x构造出不等式＜；也可以利用正弦函数y＝sinx和一个V字形函数构造出不等式等等。

3.课堂小结

本课从一个不等式的解集问题出发，简单回顾了高中阶段所学过的不等式以及函数，并从两个角度进行探究，由不同形式不等式出发进行探究，由函数图像的变换出发进行探究。

华罗庚曾说，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。在由函数图像的变换出发进行的探究过程中，我们可以体会到数形结合思想起到了至关重要的作用。

如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。——（美）斯蒂恩

4.作业布置（略）

教学设计说明

本教学设计是在区数学学科咨询中心来我校高三调研听课（2014年10月22日）后，经听课专家和老师评课之后的修改稿。借鉴了听课专家及听课老师的意见，现在的设计中综合考虑了以下几方面。

1.以点带面与具体深入

本节课是高三的一堂复习课。设计意图是从一个简单的不等式解集问题出发，对不等式和函数相关章节作一个概览。由一个简单的不等式解集问题，引出一串不等式，一串函数，于是重温不等式、函数、三角函数与反三角函数等章节的部分知识点。

本课试图做到以点带面，即由一个看似简单的问题出发，带动一串不等式的简单复习，带动一串函数图像及函数图像变换的复习。但在试图做到以点带面的同时，要尽量避免因面铺得太开而缺乏思维的细腻与深度。在进行教学设计时尽量做到以点带面和具体深入的兼顾。

在“环节1：由不同形式不等式出发进行探究”中，以点带面，主要是指由问题出发，带动一串不等式的简单复习。

由于学生在解不等式方面还存在着各种局部基本技能上的薄弱或考虑问题不全面等，造成有些不等式求解问题的正确率不高。我们经常可以看到像这样的状况，对于解这样的不等式等，学生不是忽略这就是忽略那。

所以，在问题探究的环节1中，课堂上似乎简单浏览了高中阶段学过的所有不等式，但如果仅仅浏览是否太过肤浅？于是，考虑设计一些问题辨析，设计一些更为一般化的问题（这是曹建华老师的建议），以直击学生的批判性思维和思维的深刻性，这样便提升了一定的探究深度与广度，避免教学的机械单一，也使得课堂教学更为生动活泼。

在“环节2：由函数图像的变换出发进行探究”中，以点带面，主要是指由问题出发，带动一串函数图像及函数图像变换的复习。

如果教师这里不加以引导，只是让学生自主探究的话，很可能学生都会挑选一些比较容易入手的函数，如y＝y＝，y＝x2等。相对来说对于指数函数y＝2x，三角函数y＝sinx等，或许处理起来就不是那么容易了，学生很可能就不愿意挑战。但是如果仅仅挑简单的做，缺少了指数函数或三角函数，不仅失去了挑战的乐趣，总觉得留下了不完美的遗憾。最好是以点带面，将高中学段所学过的函数一网打尽。

2.教师引导与学生自主

本课属于一节复习探究课，也可以称为是一节思想方法课，因在“环节2：由函数图像的变换出发进行探究”中需要借用函数，运用数形结合思想构造不等式。

在“环节1：由不同形式不等式出发进行探究”中：

教师主导：要求学生逐一写出5类不等式；设计了若干变式请学生辨析。学生主体：学生的答案开放，体现了自主性。

在“环节2：由函数图像的变换出发进行探究”中：

教师主导：给出两个范例，利用y＝log2x和y＝|log2x|函数，借助数形结合思想，带领学生共同构造不等式。学生主体：学生选取的函数不同，体现了自主性；因针对具体某个函数，构造不等式方法途径的不同，增加了解决方法的开放度，为学生创造了更为广阔的自主平台。

在“环节2”中，对于对数函数y＝log2x，学生还是可以比较轻松地构造出一个不等式，如不等式log2（x－3）＜0。但为了使学生能够挑战一下从指数函数y＝2x图像出发构造一个不等式（略有难度），这里就做了如下一个铺垫：

在本教学设计中，希望在教师的带领下，教师和学生一起从y＝|log2x|函数图像出发，最终构造不等式和不等式，参考图6和图8。在这两个不等式构造的示范下，学生就应该比较愿意挑战一下指数函数了。

事实上，在原来的课堂上，还是有两位学生利用指数函数y＝2x顺利构造出了不等式

这里特别说明一下，在教学设计改进前的课堂上，在“环节2”中，利用y＝log2x和y＝|log2x|函数，借助数形结合思想，教师带领学生共同构造了不等式log2（x－3）＜0和。在构造的过程中，教师始终先保证构造的不等式解集的区间长度为1，然后通过平移变换，最终得到需要的不等式。而这样的教学或许有些僵化。事实上，如果一开始的区间长度不是1，我们还可以通过伸缩变换和平移变换，这两种变化来达到目的。如果一开始不限定区间长度为1，或许就能够使教学更灵活，方法途径更多样，从而或许能提供学生更全面的能力锻炼机会。

于是，本教学设计在“环节2”中做了一些改进，利用y＝|log2x|函数，从两条途径构造了不等式——①参考图6，先定区间长度，为1，然后再平移；②参考图8，先定区间的左端点，为3，然后再伸缩。

3.解决问题与品味思想

本课应该是具有数学味的，当然更确切地说是解决问题味很浓。不等式、函数，本课中都涉及了具体的不等式、具体的函数，没有泛泛而谈的东西。但是，在纯粹解决数学问题的同时，我们也可以顺便来品味一下数学思想的魅力。

整堂课是在找一个不等式，使其解集为（3，4）。这问题本身就和通常求解不等式的问题“背道而驰”了，可以体会一下“逆向”，可以体会一下“开放”。

特别地，在“环节2”中，我们将数形结合思想用到了极致。利用数形结合思想，我们可以轻而易举地构造出很多不等式，收获颇丰。由此我们体会华罗庚先生的话，数缺形时少直观，形缺数时难入微；美国斯蒂恩的话，如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。

4.落实双基与培养品质

环节1，教师抛掷若干不等式，如一元高次不等式、无理不等式、分式不等式、绝对值不等式等，要求学生思辨，适时强调有关不等式解法的注意点。这里要求学生思辨，正是培养学生的批判性思维。

环节2，要求学生利用我们所学过的函数：一元一次函数、一元二次函数、正比例函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，借助于数形结合思想来构造一个不等式，正是数形结合——思想方法教学的直面出击，扎实而细腻。在教师的引导下学生自主探究，为学生搭建了一个挑战自我的平台。

5.技术依赖与技术支持

我个人体会，技术支持数学教学与数学学习主要有三个方面——技术促进理解、技术提高效率、技术推动探究。

运用技术可以提高效率，技术的确为我们带来了很多便利。因为有了计算器，有些运算就借助计算器了。但是现在很多学生的运算能力都比较薄弱，究其原因主要是他们平时解题过多地依赖于计算器，这就是负面作用。所以，我们更应该让技术发挥好其正面效用。

本节课中的技术支持主要体现在——快速检验，从而提高课堂效率。

这是一个开放性问题，学生借助于函数图像构造出了多个不等式，有的比较简单，有的比较烦琐，这个时候就需要图形计算器强大的代数功能，帮我们快速的检验一下学生构造的不等式是否正确。毕竟在这堂课中，复习函数、运用数形结合思想——这才是本课的重点。可以留时间让学生来表述是如何构造不等式的，说理、说方法应该重要一些。如果将时间花在检验所构造的不等式是否正确，可能就会导致教学重点不突出了。

这是一次对一个数学问题的教学实践。此教案本身是一次实践后的再设计，将此设计实践于课堂的话，一定还会和理想有出入。教学本身是一门遗憾的艺术，总在不断地实践、不断思考……

课例点评

发散思维精妙处，自有创新奇葩开。

本课例是在一道结论开放的问题探究的基础上，从函数、方程和不等式三者的关系出发，继续深入探究的一节习题课。命题结论的开放性，决定了探究命题条件充分的发散性、层次性和创新性。

本来从学生解题的视角看，要得到一个解集为（3，4）的一元二次不等式，学生只要给出形如（x－3）（x－4）＜0即x2－7x＋12＜0，这样的不等式就可以了。如果要更进一步的话，从不等式x2－7x＋12＜0出发，我们还可以得到更为一般的不等式：a·（x2－7x＋12）＜0，a＞0或b·（x2－7x＋12）＞0，b＜0。这些对学生来说似乎已经足够。但作为主导者教师而言却并不满足如此的简单收场，而是从高中数学知识中的函数、方程与不等式的知识内在联系的视角出发，提出“写出一个解集为（3，4）的不等式”——这样一个更为开放性的问题。这便使得问题的视野更加广阔，所涉及的不等式和函数的类型更多，层次更深，内容更丰富。

在课堂组织过程中，徐老师引导学生从不同类型的不等式和不同类型函数，这两个方向出发寻找满足条件的不等式。环环相扣、层层递进的教学设计充分激发了学生自主探索的兴趣。

在课堂教学过程中，徐老师还恰当地借助于图形计算器，从图像变换的视角给出了的解集为（3，4），充分体现了图形计算器对解决问题技术上的支持。

在引导探究过程中，函数、方程和不等式，三者之间内在联系的揭示与转换，通过数形结合，转化化归，图像变换，使得学生的认知结构发生深刻的变化。学生对原有问题的理解更加深刻，研究方法也得到进一步的提升。

本节课不仅体现了教师探究问题主导性，同时也激发了学生自主探究的积极性。课堂的预设与生成做到了和谐的统一，教师主导与学生主体探究之间实现了动态的平衡。

应该讲，这是一节值得提倡的以问题为主导，以探究为主线，教师为主导，学生为主体的一堂高品质的习题探究课。

上海市嘉定区第一中学　杨思源（特级教师）