基准点稳定性的分析

一、基准点稳定性分析与统计检验

变形观测网中有些点在两次观测之间保持稳定，而有些点则处于一定的运动状态。虽然有时可以根据工程与地质信息对某些点的稳定性做出判断，但这些判断往往是不准确的。因此，在变形测量时有必要对观测网的基准点进行一定周期的重复观测，以计算它们的位移，再辅以统计检验的方法判断其稳定性。这里介绍变形监测网基准点稳定性分析与检验的一些常用方法。

（一）变形分析通用法

变形分析通用法又称为“逐次定权迭代法”或“稳健法”。令d和Qd为测量平差得到的基准点两次观测间的位移向量及其协因数矩阵。d和Qd随测量网所选用的参考基准而变化。这里假定测量平差时使用“内制约”或“最少制约”的方法定义测量网的基准。对d和Qd作如下变换：

式中，S=I-H（HT PH）-1HTP，H为内制约法定义基准时所使用的基准制约矩阵，P是基准点的权矩阵，一个基准点的稳定性越高，其相对权越大，定义基准时所起的作用也越大。由于预先不知道各点的稳定程度，因此很难确定权矩阵P，所以采用逐次迭代的方法。开始时，取P=I，由式（17-1）求得d。在第k+l次迭代时，取

式中，Pi（k + 1）为第k+1次迭代时i点的权，为第k次迭代后i点的位移量。那么整个迭代计算过程进行到相邻两次位移向量的差值小于某一预选限差为止。的协因数矩阵为

实际计算时，可能中的某些元素会接近于零，相应的权则趋近无穷大，造成数值计算的不稳定。为此，可以设置一个下限值δ，如果，取相应的权Pi=P0（P0为一预先确定的较大的正常数）；如果在下次计算过程中，，则Pi又作相应的变化。

对于一维参考网，可以不需要迭代，只要把各点的位移按大小顺序排列，然后将位移大小处于中间的那一点的权定义为1，其他权为0，就可以构成矩阵P。有了P以后，最后的位移向量及其协因数阵由式（17-1）计算。

设和为上述方法最后得到的位移向量和其相对应的协因数矩阵，第i点的位移和协因数矩阵分别为di和Qdi，根据所计算的位移是否落在测点的置信椭球之内就可以判断这些点的稳定性。也可以通过位移di的二次型来判别该点的稳定性。

对于三维网，当时，认为该点是不稳定的，否则是稳定的。式中，为两次观测的联合后验方差因子， α为显著水平，n2为的自由度。

对于二维网和一维网，相应的统计量分别为：

式中，qdi为中的第i个对角元素。

（二）Hannover方法

这个方法的基本思想是先进行两周期图形一致性检验（或叫整体检验），如果检验通过，则所有基准点是稳定的。否则有不稳定的点存在。寻找不稳定点的方法是“尝试法”，依次去掉每一点，计算图形不一致性减少的程度，使图形不一致性减少最大的那一点被认为是不稳定的点，排除不稳定点后再重复上述过程，直到图形一致性检验通过为止。

图形一致性检验

式中，ωi是i点位移的二次型，计算时先把和分解为

式中，下标M对应于点i，下标F对应于其他点。然后作如下变换

由此可得

对所有的基准点都进行分解，计算ωi和ΔR（i）。所有ωi中最大的一个所对应的点为不稳定点。利用剩下的ΔR（i），重复上述过程，直到图形一致性检验（17-8）通过为止。

（三）Bonn方法

这个方法和Hannover方法一样，先进行两期观测间图形一致性检验，当检验失败后，也是用“尝试法”鉴别不稳定的点。但是鉴别的方法不一样，先从“内制约”法平差所得的位移和其置信区间（如椭球或椭圆），找出定义参考系所需要的最少个数的稳定点（位移和置信区间相比最小者），用它们定义参考系，得出新的位移向量。再从余下的点中选出位移最小的一个点，用加权S-变换（式（17-1）、 （17-2）将其与其他已选出的稳定点一起用来定义参考系，进行整体稳定性检验。当检验通过时，再选出下一个位移最小的点，重复上述过程，直到所有的稳定点都选出为止。

二、不稳定点位移的计算

在所有不稳定点找出以后，还要估计它们的位移。构成如下的变形模型

式中，向量c为不稳定点的位移；为相应的模型矩阵。

例如，一个具有m点的平面参考网，利用上面的方法判断i点和j点可能不稳定，那么c和矩阵分别为

变形向量d的权矩阵为

式中，N1 、N2分别为第一期和第二期观测网平差时的法方程系数矩阵。这里法方程系数矩阵为未加任何基准约束之前的系数矩阵，因此是秩亏的。

根据最小二乘原理，不稳定点的位移和它们的协因数矩阵为