高分辨电子显微术的基本原理

高分辨电子显微术是一种基于相位衬度原理的成像技术。入射电子穿过很薄的晶体试样，被散射的电子经相长干涉在物镜的背焦面处形成携带晶体结构信息的衍射花样，随后衍射花样中的透射束和衍射束的干涉在物镜的像平面重建晶体点阵的像。这与单色可见光对光栅的衍射和成像是相似的（见第一篇1.4.1节），这样两个过程对应着数学上的傅里叶变换和逆变换。因此，了解电子散射和傅里叶变换的关系，对于理解本节中“高分辨电子显微像的形成”是非常重要的。

19.2.1 电子散射和傅里叶变换

由电子枪发射的电子，在真空中行走时可视为波矢k（2π／λ）的平面波exp（ikr），当其入射到试样上将发生散射。试样对平面波的作用设为q（x，y），如图19-1所示。从试样上的（x，y）点到距离r的（s，t）点的散射振幅可表示为

式中，c为常数。考虑到与试样大小比较而言，观察处位于很远的地方（夫琅和费衍射条件）。

图19-1 电子散射示意图

式（19-1）表明，散射振幅是以一个球面波扩展的。此时，R≫x，y，因此可做如下近似处理：

这样，散射振幅可以近似写成：

式中

式（19-3）右侧与傅里叶变换一致，这就表明G（h，k）能够用q（x，y）的傅里叶变换来得到。可简写为

上述傅里叶变换表达式是在夫琅和费衍射条件式（19-2）下成立的。由于电子显微镜中存在电磁透镜，电磁透镜可把平行光束会聚在背焦面上，相当于使平行束在无穷远处相交，因此该条件在透镜的背焦面处是成立的。

如果把衍射波G（h，k）视为次级波源，再进行一次傅里叶变换，即逆变换，便得到物镜像平面上的散射振幅q（x，y），即

由此可见，通过傅里叶逆变换，在像平面上获得了晶体试样中的全部结构信息。这从数学上描述了阿贝光栅衍射成像的原理。需要说明的是，本节中入射电子的波函数采用exp（ik·r），其中｜k｜=2π／λ，并定义三维函数f（r）的傅里叶变换G（k）为

19.2.2 高分辨像形成过程描述的两个重要函数

1）透射函数（transmission function）q（x，y）

以平面波（位相相同）出现的入射电子受晶体势场的调制，在试样下表面形成了携带结构信息的振幅和相位均不同的电子波。在加速电压u下，入射电子在轰击晶体试样前的波长为

式中，h为普朗克常数，m为电子质量，e为电子电荷。晶体由原子作三维周期性排列，原子由原子核和周围的轨道电子组成，因此晶体中存在一个周期分布的势场V（x，y，z），电子通过晶体试样的过程中必然同时受到u和V的作用，使波长由λ变成λ′：

如果电子束通过试样时，其振幅无变化，只发生相位变化，这样的试样称为相位体。在加速电压很高，试样非常薄的情况下，此时散射电子的振幅呈现很小的变化，该试样可看成弱相位体。若进一步假定电子束仅沿其入射方向（Z）运动，通过一个d Z薄层的电子波在势场作用下将产生一个相位移dχ（x，y，z），则

它是一个携带晶体结构信息的透射波。如果考虑试样对电子的吸收使之衰减，则式（19-11）的函数中，还应引入一个衰减因子exp［-μ（x，y）］，于是式（19-11）变为

对于满足上述弱相位体的试样，指数项值远小于1，故展开上式，略去高次项，可得

按照上述弱相位体近似，试样下表面处的透射电子波与试样中晶体势场沿电子束方向投影分布呈线性关系。如果在以后的成像过程中，物镜是一个理想的无像差透镜，则它可以将q（x，y）在像平面处还原成真实反映晶体结构的散射波。然而实际情况并非如此，物镜存在球差和非正聚焦的离焦量，这就要考虑它们对q（x，y）的调制。下面讨论这种调制和其他因素对成像过程的影响。

2）衬度传递函数（contrast transfer function，CTF）

物镜对试样下表面的散射波q（x，y）进行傅里叶变换，得到物镜背焦面上的衍射波函数G（h，k），即

G（h，k）=G（g）=F{q（x，y）} （19-14）

将式（19-13）代入式（19-14），可得

G（h，k）=F{q（x，y）}=δ（h，k）+iσφ（h，k）+M（h，k）（19-15）

式中

δ（h，k）=F{1}

φ（h，k）=F{φ（x，y）}

M（h，k）=F{μ（x，y）}

（19-16）

携带结构信息的透射函数经傅里叶变换后，在高分辨成像时，还必须考虑物镜的球差（Cs）和离焦量（Δf）的影响，因此衍射波函数G（h，k）需乘上一个修正项，即“衬度传递函数”exp［iχ（g）］：

G（h，k）=F{q（x，y）}exp［iχ（g）］=［δ（h，k）+iσφ（h，k）+M（h，k）］exp［iχ（g）］

式中

式中，χd，χs分别表示由离焦量和球差引起的相位移。衬度传递函数是一个对高分辨成像质量至关重要的因子。根据尤拉公式得

exp［iχ（g）］=cosχ+isinχ

在像平面处的波函数ψ（x，y），可通过对G（h，k）的傅里叶变换得到，即

ψ（x，y）=F{G（h，k）} （19-18）

将式（19-16）代入式（19-18），得

式中，*是卷积的符号。上式运用了卷积原理：二个函数相乘后的傅里叶变换等于该两个函数的卷积。在像平面上强度分布是ψ（x，y）与其共轭ψ*（x，y）的乘积：

略去所有与σφ（x，y）和μ（x，y）有关的高次项，得

I（x，y）=1-2μ（x，y）*F{cosχ}-2σφ（x，y）*F{sinχ} （19-21）

若试样足够薄，可不考虑吸收，则有：

I（x，y）=1-2σφ（x，y）*F{sinχ} （19-22）

由此可见，像的强度与试样投影势呈线性关系被函数sinχ所干扰，因此sinχ决定了图像的分辨率。只有在sinχ=±1的理想情况下，像的强度与试样投影势呈线性关系，因而能直接反映出试样的结构。

19.2.3 谢尔策欠焦

从式（19-2）可知，衬度传递函数exp［iχ（g）］中，对像衬度有实际影响的是sinχ，它是倒易矢量g的函数。图19-2是以倒易矢量的长度g为横坐标，sinχ为纵坐标，显示出sinχ与g有复杂的对应关系（参看1917式）。图19-2中的曲线是在加速电压和物镜球差均固定的条件下计算得到的。可以看出，衬度传递函数随成像时的离焦条件不同发生急剧变化。值得注意的是，在Δf=87nm的欠焦条件下（在图19-2中定义欠焦为“正”，过焦为“负”）， sinχ≈-1处有一个较宽的平台（称为“通带”），说明像在此范围内受到传递函数干扰很小，这时能够得到清晰、可分辨的、不失真的像，这种聚焦条件下的sinχ≈-1的平台是电镜操作时所追求的目标，这就是通常所谓的最佳聚焦条件，称为谢尔策聚焦，因该聚焦处在欠焦状态，故也称为谢尔策欠焦（Scherzerdefocus）。

图19-2 在不同离焦量下sinχ随g的变化

图19-2中sinχ“平台”的右侧对应着大的g=（ ），说明它们对应于较小的晶面间距d，它就是在此成像条件下获得不失真像所能达到的分辨能力。平台的左端g值小，对应的晶面间距大，在偏离sinχ≈1平台时，大尺寸晶体结构细节可以在电镜中被看到，但它反而可能是失真的。

19.2.4 弱相位体高分辨像的直接解释

根据式（19-22），我们知道像的强度与弱相位体在Z方向投影势成正比的关系被sinχ函数所干扰，但在谢尔策欠焦条件下，这种对应关系保持成立，因而根据图像的衬度可以了解弱相位体的投影势，从而获得样品的结构信息。反之，根据弱相位体的不同投影势的特征，可预测图像衬度的特征。

弱相位体由不同原子构成，在电子束方向上重原子列具有较大的势，轻原子列具有较小的势，如图19-3（a）所示。由式（19-22）可知，在重原子列的位置，像强度弱，如图19-3（b）所示。

图19-3 晶体势与高分辨电子显微像衬度对应示意图

图19-4示出了400k V拍摄的超导氧化物Tl Ba2Ca3Cu4O11的高分辨电子显微像。对比插入的原子分布图与高分辨像可知，重原子Tl和Ba的位置出现大黑点，而这些金属原子周围相对来说是明亮的，尤其是没有氧原子存在的空隙，即势最低的区域最明亮，与式（19-22）预测有很好的对应。

图19-4 超导氧化物Tl Ba2Ca3Cu4O11的高分辨电子显微像［1］

如果用物镜光栏选择物镜背焦面上的两个波来成像（一个透射波，一个衍射波），由于两个波的干涉，可得到一维方向上强度呈周期变化的条纹花样，这种花样被称为晶格条纹像（lattice fringe image）。图19-5的高分辨条纹像显示出由小取向差亚晶结合而成的M23C6碳化物，这种亚晶不能被衍衬暗场像所揭示，仅显示为一个晶粒的碳化物。

图19-5 GH33镍基高温合金中M23C6的晶格条纹像

若样品中同时存在非晶体和晶体，由于它们的投影势不同，也将导致高分辨像有不同的衬度特征。图19-6（a）（b）分别示出了薄样品的非晶投影势和晶体的投影势。在非晶样品中，原子的自由重叠导致投影势的分布与其平均势有较小的偏离。而在晶体中，原子的规则排列、投影势由既明锐又高的峰所主导，其分布与平均势有显著的差异。由此不难想象，非晶势的分布将导致一个弱的衬度，而晶体势的分布将导致一个强的衬度。图19-7是823K溅射的Fe Co（41%Vol）-Al2O3颗粒膜中非晶基体Al2O3的高分辨像及其傅里叶变换（右下角插图）。

图19-6 非晶体和晶体原子分布及其对应势分布

图19-7 Al2O3颗粒膜中非晶基体Al2O3的高分辨像及其傅里叶变换