电阻三角形连接与星形连接的等效变换

在电路中，3个电阻首尾相接，连成一个三角形，其3个顶点是电路的3个节点，如图2-10（a）所示，称为电阻的三角形连接，简称△形连接。3个电阻一端接在一起，另一个端点分别接在电路的三个节点上，称为电阻的星形连接，简称Y形连接，如图2-10（b）所示。

图2-10　电阻的△形连接和Y形连接

下面来推导电阻的△形连接和Y形连接间的等效条件，也就是两者伏安特性相同的条件下，R1、 R2、R3与R12、R23、R31间的相互关系。图2-10中，3个节点间的电压分别为u12、u23、u31，外部电路流入节点1 、2 、3的电流为i1 、i2、i3 ，△形连接的各元件中的电流为i12、i23 、i31。电流的参考方向如图2-10所示。由图2-10可以看到，这两种连接方式各有3个伏安特性方程，但根据KVL应有

根据KCL有可见电流、电压各有一个不独立的，例如

这表明电压u31可用u12、 u23表示，电流i3可用i1 、i2表示，所以只要列出每种连接方式的两个伏安特性方程即可。

对图2-10（a）所示的△形连接电路，应用KCL于节点1，有

把式（2-13）代入，则得

再应用KCL于节点2，有

联立求解式（2-15）和式（2-16）得

对图2-10（b）所示的Y形连接电路，应用KVL于回路Ⅰ和Ⅱ，并注意式（2-14），得

比较式（2-17）、式（2-18）与式（2-19）、式（2-20）的对应项系数，可得

式（2-21）即是电阻从△形连接变成Y形连接的等效条件。

联立求解式（2-21）中3个方程，有

式（2-22）是电阻从Y形连接变成△形连接的等效条件。

将式（2-22）用电导表示，则可写成

为了便于记忆，可用下面公式：

若星形连接的三个电阻相等，即R1 = R2 = R3=RY，则等效三角形连接的三个电阻也相等，即

反之，则有

例2-5　求图2-11（a）所示电路的等效电阻Rab。

图2-11　例2-5图

解　把图2-11 （a）中接在a、 b、c点3个电阻的Y形连接化成△形连接，则得图2-11（b），其中

由图2-11（b）计算得等效电阻Rab为