无限概念的由来

第四章　有限与无限

“有限”和“无限”是一对古老的哲学概念，后来又成为数学中的一对重要概念。在古希腊，阿那克西曼德头一个把这对概念引入哲学，认为无限是一种没有质因也没有界限的事物，是一切存在物的始基和元素。毕达哥拉斯学派把“有限”和“无限”列入他们的十对对立范畴之中，把“无限”理解为偶数。埃利亚学派探讨了大小、运动、无限大、无限小等无限系列。亚里士多德着重探讨“无限”范畴的潜在方面，以及数列的无限性和时间的无限性。在中世纪，托马斯·阿奎那把积极的、绝对的无限性与潜在的、相对的无限性区别开来。在近代，笛卡儿认为“无限性”这个概念先于“有限性”，广延是无限的；斯宾诺莎认为有限、部分、暂时性是与无限、全体、永恒性一一对应的。莱布尼茨和牛顿在发展微积分中，借助于连续性和有限去把握有限量的潜在无限。在现代，康托把与潜在的无限有所不同的积极的无限概念引入数学，肯定无限是真实地存在着的，认为当一个级数的次级数之一分享一个基数时，这个级数是无限的。罗伊斯认为在级数或存在中的有限始终包含有无限。布劳维尔等直觉主义者只承认“潜无限”概念，否认“实无限”概念，认为如果把实无限和潜无限混淆起来，就会产生悖论。

在维特根斯坦的数学哲学思想中，“有限”和“无限”这一对概念占有十分重要的地位。在《维特根斯坦与维也纳小组》、《哲学评论》、《哲学语法》以及《论数学的基础》等著作中，他都用相当多的篇幅讨论“无限性”概念，涉及许多问题。对于有限和无限的关系，他作过一些简略的论述，例如，他说：“有限与无限的区别是一种逻辑的区别。这种区别与我们意识的经验状态无关。”（v.2，p.181）又说：“‘无限数量’有着与‘有限数量’截然不同的语法。我们无须定义‘无限数量’，相反，我们必须说明这个词是怎样使用的。”（v.5，p.365）因此，他在其著作中着重考察无限问题，特别是考察无限性与可能性的关系，以及数列的无限性和时空的无限性问题。