方差—协方差法

这种方法利用资产收益的历史数据，计算出资产的标准差和相关系数，然后在一定的分布假定之下，基于这些方差和协方差，计算得到组合的标准差，从而确定相应的VaR。这种方法与下面将要介绍的同样是运用历史资料的历史模拟法的思路截然不同，其具体的做法为：

首先，利用历史数据求出资产组合收益的方差、协方差、标准差；

其次，假定资产组合的收益呈正态分布，可求出在一定置信区间下反映了分布偏离均值程度的临界值；

最后，建立与风险的联系，推导出VaR值。

具体而言，设一资产组合在单位时间内的均值为μ，标准差为σ，R遵从正态分布，即R～N（μ，σ2）。又设α为置信区间c下的临界值（如置信区间为95%的临界值为1.65），依正态分布的性质，可知在1－c的概率下，可能发生的偏离均值的最大距离为μ－ασ，即R＝μ－ασ；又因为E（R）＝μ，所以有：

在正态分布下，若持有期不是单位时间，设为Δt，则均值和标准差分别为μΔt和σΔt。这时，上式可以转换为：

由上面两个式子可知，在正态分布下计算VaR值实际上只需算出相应持有期内的标准差即可。利用这一基本思想，有如下两种方法。

（一）简单VaR法

简单VaR法用于“线性”投资工具，它假定投资工具的收益服从多元条件正态分布，头寸价值的相对变化是潜在收益r的线性函数（即该头寸是线性头寸）。如果在95%的置信度下，VaR值就等于被投资组合的标准差，所以这一方法的关键是求投资组合的标准差。

假定某投资组合包含了N个头寸，每个头寸都包含一个现金流，并且其方差、协方差可以求得，那么该头寸的相对价值变化可表示为：

其中，ωn是第n个头寸的总投资额，rn，t是第n个头寸的潜在收益，δ为标量。

假定要计算该投资组合在95%的置信水平下，某一日的VaR值，在投资组合服从条件正态分布的前提下，VaR可表示为：

其中为前一天的该投资组合的收益。

为一个1×N的向量，

为N×N阶的潜在现金流的收益相关矩阵。

计算投资组合VaR值的具体步骤如下：

首先，将资产组合分解为我们事先确定的所谓的“基本风险因子”，如外汇、零息票债券、股票综合指数和商品等。因为现实中资产组合的种类非常繁多，我们不可能得到所有组合的风险和相关性的数据，所以必须将其分解为我们熟知的因子。

其次，计算这些分解得到的“基本风险因子”在持有期Δt的协方差矩阵Σ。

最后，由协方差矩阵Σ和给定置信水平的标准差计算出投资组合的VaR值，

其中，χ表示各基本风险因子。若选定95%的置信水平，在正态分布的假设前提下α为1.65。

有时并不是直接给出协方差矩阵Σ，而是以相关矩阵R和“基本风险因子”各自的标准差α的形式给出。

其中：

著名的Risk Metrics系统就提供R值。

简单VaR法的优点是：简单易行，对于不含期权的投资组合，用该方法是最好的选择。

该方法的缺点是：首先，对极端事件无能为力。因为极端事件（如股市或汇市崩盘）并不经常发生，所以历史数据并不能充分表达这类事件的信息。这也是所有使用历史数据方法的共同的缺点。其次，分布假设并不能很好地反映金融资产的实际收益率的分布。现实中，许多金融资产的收益率都存在“肥尾”（fat tail）的现象。在存在肥尾现象的情况下，以正态分布假设为基础的模型会低估实际的VaR值。

最后，该方法不能充分测定非线性工具的风险，如期权，该方法采取的是一阶近似。这种近似在标的资产的价格有很大变化时就不恰当了。

尽管如此，简单VaR法仍不失为一种好方法。大多数情况下，只要有投资组合的具体组成及历史数据，就能充分地测定投资组合的VaR值了。

（二）Delta-Gamma法

从对简单VaR方法的介绍中可知，该方法只适用于线性投资工具，含有期权的投资组合不适宜用此方法。对于含有期权的投资组合应采用Delta-Gamma法求VaR值，它并未假定投资组合相对价值变化的分布是正态的，因而欲求95%置信水平下的VaR值，就不能简单地用1.65乘以投资组合的标准差来得到VaR值，而需要采用以下步骤来计算VaR：

首先，计算投资组合rp收益分布的一至四阶矩。

其次，找到一个分布具有与rp同样的一至四阶矩。

最后，由这个分布的5%的分位数来计算VaR。

为简单起见，先假定组合中只包含一个期权，当我们同时考虑期权的θ风险时，其收益可表示为：

其中。θ是反映衍生证券的价值对于期权的期限变化的比值，称为事件损耗影响。的定义同（8-3）、（8-4）式。

此时，的均值为，方差为，偏度为，峰度为

可以看出即使rt服从正态分布也不服从正态分布，因而不能直接用1.65乘以标准差来得到VaR值，而需要寻找到某种分布，这种分布的均值、方差、偏度和峰度均与相同。

Johnson（1994）提出了一种转换的方法：

其中是一个单调函数，a、b、c和d的值由四阶矩阵决定。常用的有以下几种形式：

为求出a、b、c和d，可以运用Hill和Holider提出的算法。求出a、b、c和d之后，可以得到的任意分位数。

假如，我们已经估计出，并根据其计算出的均值为0.2，方差为1，偏度为0.75，峰度为7。运用Hill的算法发现unbounded的分布形式是最优的，其参数为a＝－0.582，b＝1.768，d＝1.406。

分布的分位数通过下式得到：

比如rt的5%的分位数为－1.65，令rt＝－1.65代入上式，求出相应的的5%分位数为－1.45，并最终计算得出VaR值。

当投资组合包含多个期权时，其求分位数的方法与组合中只含一个期权时的计算方法相似，只是四阶矩的计算会更加复杂。以组合包含三个期权为例：

其中是期权i的权重。

为了计算的各阶矩，需要知道潜在收益的协方差矩阵Σ，可以通过Risk Metrics系统得到该矩阵。

定义Delta、Gamma、Theta矩阵如下：

的均值为：

方差为：

其中，trace表示矩阵的迹。