同一问题不同命运

同一问题不同命运——利用导数求曲线的切线问题

惠州市龙门县龙门中学　谭光友

下面是我在高三复习中两个班级讲解同一个问题所意外经历的不同过程事例,现记录如下:

师:请同学们解决以下问题:

(1)已知f(x)=x³-2x,求与f(x)相切于点(2,4)的切线方程。

(2)过点(2,4)与曲线f(x)=x³-2x相切的切线方程。

(学生动笔在草稿纸上写和算,我到学生中巡视,看学生解答情况。)

(一)以下是发生在高三(5)班的教学过程

师:好了,多数同学都完成了这两道题的解答,下面我们邀请几个同学把他的解题思路和大家分享一下。

生甲:这两道题实际上是一样,我是先求出函数f(x)=x³-2x的导数f′(x)=3x²-2,再利用切线的斜率和导数的关系得到切线方程的斜率k=10,然后利用点斜式得到切线的方程:y=10x-6。(学生甲在讲解时把他的解答过程投影在屏幕上)听了甲同学的讲解,同学们议论开了。

生乙:他说得对,我和他的想法一样。

生丙:不对,我感觉这两个问题结果应该不一样,但是不知道怎么做。

生丁:老师,这两道题不一样,题一的点(2,4)是切点,而题二的点(2,4)不一定是切点,所以,我的第一题的解法与甲同学一样,而第二题应该是(投影展示他的解法):设切点为(x₀,y₀),根据导数的几何意义有切线的斜率k=f′(x₀)=3x₀²-2,故所求切线方程为y-y₀=(3x₀²-2)(x-x₀),又因为点(x₀,y₀)在曲线上,则y₀=x₀³-2x₀①,切线过点(2,4),所以4-y₀=(3x₀²-2)(2-x₀)②,由①、②可得x₀=-1或x₀=2。故所求切线方程为y=x+2或y=10x-16。有两条直线。

师:你分析得很正确,大家注意第一题叙述的是“与f(x)相切于点(2,4)”,显然这个点就是他们的切点；而第二题是“过点(2,4)”,经过这个点,所以不一定是切点。通过这两个问题,我们可得到如下结论:①利用导数求曲线的切线一定要注意所给的点是否是切点,一般来讲,“相切于某点”是切点,“过某点”不一定是切点。②已知点是切点,前面多数同学已经会解了。当点不是切点时,我们要像丁同学讲解的方法那样:首先设切点(x₀,y₀),得切线方程,然后利用所给点既在切线上又在曲线上,解方程组得x₀,y₀的值。最后将x₀,y₀的值代入切线方程即可。

师:下面请同学们做一下我投影的几道题,并请几个同学到前面来把他所做的结果写在黑板上。

到此为止,仅用15分钟变讲完了例题,按自己预先设计的教案,再出了四个变式题给学生巩固练习,学生先练,我点评。

(二)以下是在高三(6)班的讲课记录

与在高三(5)班一样,学生先自主解答同样的两道题,老师巡视解答情况并请学生回答,当学生B回答出问题二的解法时,我并不立即总结,换一种讲法:

师:大家根据刚才两个同学解答自己总结方法,同桌可以交流。

(同学们相互讨论,如何确定定点是否切点？当定点不是切点又如何解答？有的同学在做笔记,大家都在对这两道题用自己的方式在分析、总结。突然,有一个同学举手并大声说:老师,我有问题。)

生C:第二题计算出有两条直线,我认为只有一条是对的,因为直线y=x+2与曲线有两个交点,相切只有一个交点,所以仍然只有y=10x-16一条切线。

(同学们听了C的回答,在下面小声议论:对啊,切线应该只有一个交点,有两个交点还是切线吗？……不,有两个交点也可能是切线。还有的同学用期盼的眼神看着我,想从我这里得到答案。)

师:刚才同学C提出了一个很好的问题,同学们以小组为单位讨论一下,看哪一组能帮助解决这个问题。

话音刚落,同学们便议论开了,同一组的同学看法不尽相同,都在为自己的观点据理力争。这样过了大约2分钟。

师:有的小组意见已经达成一致,下面请几个小组来把你们的结果和大家分享一下。顿时教室便安静了下来,还是平时最活跃的学生D:我们认为B同学说得很对,直线与曲线相切只有一个交点。

生D:我们以前用判别式Δ=0来求曲线的切线方程,而Δ=0时,直线与曲线只有一个交点,相切肯定只有一个交点。

生E:我赞同C同学的意见。

大多数同学听了以上同学意见都表示赞同,少数同学有些犹豫。

师:还有没有不同的看法。

生F:我刚开始认为有两个交点也有可能相切,但听了同学丙的答案后有不敢肯定。

师:那你谈谈你开始认为有两个交点也有可能相切理由。

生F:方程y=10x-16是曲线f(x)=x³-2x的切线,它们有两个交点。

生C:它们是有两个交点,说以方程y=10x-16不是曲线f(x)=x³-2x的切线。

“切线的定义是怎样的,知道定义不就可以搞清楚方程y=10x-16是还是不是曲线f(x)=x³-2x的切线吗？”突然从后排传来一个声音。

师:对呀,有困难找定义。

(切线定义:当点P_n趋近于点P时,割线PP_n趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线。)

教师根据定义结合如下图象给学生进行了剖析并给出一组题让学生辨析。相信同学们都没问题了,我又准备按计划进行。

“老师,我们还能不能用判别式Δ=0来求曲线的切线方程？”

“可以用判别式Δ=0来求曲线的切线方程,因为判别式Δ是用来探讨二次方程的根的问题,二次方程最多只有两个根,此时直线与曲线相交,当Δ=0时,直线与曲线的两个根相同,直线与曲线只有一个交点,根据曲线切线定义,它们是相切的。你提的问题很好,大家思考一下,什么时候可以用判别式来求切线,什么时候不可以。”

经过思考、交流,同学们得出:直线与二次曲线求切线时,可以用判别式,否则不可以。

“老师,那两个二次曲线也有可能相切,它们通过联立方程组化成一个二次方程,可以用判别式来求切线吗？”我刚要准备按计划讲课,又一个同学冒出这样一个问题,是呀,它们还能用判别式吗？用判别式求出的结果是否完整,这个问题我还真没思考过,怎么回答呢？好在下课铃响了,让尴尬没有继续。

反思:第二节课完全在意料之外,我几次想回到教学计划中来,都又被学生拉了回去,作为高三复习,我没想到同一个内容竟会因为我的一次“放任”在两个班会带来如此的结果。第一个班的这节课完成了教学任务,学生也掌握了这节课知识,另一个班这节课我想学生收获更大,学生不仅学会了切线的求法,还从定义进行了剖析和延伸,复习得更全面,更彻底。时下的高三数学复习课,大多在“总结知识——讲解例题——巩固练习——小结”的“套路”中走过场,搞题海战术,很少从学生的思维方面进行训练。郭思乐的“生本教育”告诉我们,一切从学生的学习实际出发,根据学生的认知规律进行教学。第二节课完全打乱了教学计划,根据学生的思考,把曲线的切线问题一步步深入,从交点的个数,到曲线切线的定义再到曲线切线的求法,完全由学生在思考中自然产生。表面上没有完成教学计划,实质比教学计划更能训练学生的思维并提高学生学习数学的能力,甚至连老师平时都未曾思考的问题,学生很自然地提出。