以学习活动为基点的教学对话

第一节　以学习活动为基点的教学对话——“圆的认识”课例分析^[1]

《数学课程标准(实验稿)》指出,富有生命力的数学教学要以学生发展为本,要以学生的学习活动为基点。尊重学生思维,营建“顺学导教”的活力课堂,是我们多年来孜孜以求的理想状态。然而事实上,很多时候有很多教师却难以走出“以教定学”的固有模式和教学预设的羁绊,致使一次又一次有利的教学生成时机在眼前悄悄地溜走。本节将对一位小学数学特级教师执教的“圆的认识”(人教版六年级上册)进行课例分析,以诠释怎样以学习活动为基点开展高质量的数学课堂教学对话。

【课题引入】

师:在生活中你看到哪些物体的形状是圆的?

生1:汽车轮胎。

生2:足球。

师:足球是圆的。同意的请举手。(学生全体举手)足球的这个“球”是不是我们数学中所说的“圆”呢?要回答这个问题,我们需要先弄清楚数学中的“圆”到底是什么?

分析:该执教教师能从生活中的“圆”导入课题,让学生的数学学习始于数学现实和已有经验。然而学生的先验知识并非都是正确的,有些是不完整的甚至是错误的。此对话片断中,当学生作出“足球是圆的”这一回答时,老师顺势利导,对此答案作引申并进而设疑,从“足球到底是不是圆”这个问题出发,让学生产生认知冲突,引起悬念,激疑入课。

【引导学生画圆】

师:下面请每位同学在纸上画一个圆,只画一次。(学生拿圆规画圆。完成后,教师选一份学生作品展示)

师:这个图形是圆吗?有问题吗?

生1:我觉得应该是圆。用圆规画出来的都是圆。

生2:没问题。

师:咦,这里怎么分开了?分开就不是圆了。为什么会分开,是什么原因造成的呢?

生3:因为圆规没拿紧,用劲的时候变了。

师:没拿紧。哪个地方变了?

生3:圆规的两个脚变了。

师:两个脚变了,就是……

生3:距离变了。

师:是哪里到哪里的距离变了?

生3:圆规两个脚之间的距离变了。

师:我发现同学们在画圆时,有同学是这样拿圆规的(教师把手捏在圆规腰部),手转不了了;有同学很聪明,手转不了就转纸;有同学用两只手分别拿住圆规的两个脚。所有这些操作都是不正确的,容易把圆规两脚之间的距离变动了,画到后来这条线就接不上了。所以拿圆规很重要。我们应该用手捏住圆规的头,针尖固定,手用力的重心放在针尖这位置上,带有铅笔的这头要拧紧,这样按顺时针方向转一圈就转出了一个圆。(教师配动作演示后,要求每位学生用正确方法画圆。)

师:我们不可能总是在纸上画圆吧,生活中很多地方需要画圆。如果要在操场上画一个很大的圆,你准备怎样做?

生1:画4个半径的长度,然后把4个点一连。

师:你说的是不是这样连?(如图)

生1:连成曲线。

师:曲线怎么曲?(生1无语)

生2:画4个扇形,然后拼起来。

师:我明白你的意思。4个扇形,每个扇形的夹角都是直角,对吧。那么扇形怎么画?(生2无语)

生3:用麻绳把4个点围起来。

师:麻绳或许真能解决问题,那么怎么利用麻绳呢?

生4:把麻绳一端固定,另一端涂上颜料,再拉直麻绳,围着固定点绕一圈就可以了。

师:真聪明。绳子的一端固定,另一端涂上颜料,绳子的长度就是圆的半径,这样转一圈就可以画出一个圆了。(媒体演示作圆过程)

师:如果要把圆画得大一些,怎么办?

生(齐):把绳子加长。

师:真聪明。

分析:此教学对话环节中,教师以“如何科学画圆”为核心,通过“如何在纸上画圆”“如何在操场上画圆”“怎样把圆画得更大”这三个问题引发师生对话,步步为营,激发学生自行操作和自我思考。

首先,教师从学生已有的“圆规画圆”经验出发,质疑“为什么有同学用圆规画的却不是圆”,并根据现场观察来分析学生多种不正确的画圆动作,进而介绍正确的“用圆规画圆”的操作方法。接着,教师话锋一转,由“纸上画圆”变成了“操场上画圆”,很自然地将数学与现实生活联系起来。对于“操场上如何画圆”这个问题的解决,教师始终以学生思维作为教学起点,针对学生的回答穷追不舍,结果或让学生自感语塞,或让学生恍然自悟,直至找到现实数学问题解决的最佳方法。至于“怎样把圆画得更大”这个问题的解答,学生很自然地想到“加长绳子”,这是学生在画圆活动中深刻理解了“圆的大小与其半径有关”的必然回应。

整个教学情节中,师生对话环环相扣,充满了数学思辨,散发着学生思维的光芒。可见,教师高质量的提问是启动学生数学思维的引擎。基于学习活动展开高质量的师生对话,是启发学生数学思考的原动力。遵循学生思维,基于学生学习活动来组织和推进数学活动过程,这是优秀教师实现数学生成教学的智慧表现之一。

【解读“圆”的概念】

师:刚才我们用圆规画圆、用绳子画圆,工具不一样,画出来的却都是圆。这是什么道理?

生1:都绕了360度。

生2:都有一个中心点。

生3:两者画圆的原理是一样的。

师:画圆时都有两个点。一个点是固定的,另一个点是运动的。它是怎么动的呢?

生4:运动时与中心点的距离是一样的。

师:对。一个点固定,另一个点绕着它去走,但之间的距离始终保持不变,在这个运动轨道上走一圈得到的图形就是圆。所以,“圆”就是一条线。什么线?

生(齐):曲线。

师:“圆”就是由无数个点组成的这样的一条曲线。因此,足球是不是圆?不是。生活中讲的“圆”与数学中的“圆”不是一回事。

生5:“足球”如果不是圆的,那它是什么东西?

师:真会动脑筋。球是什么东西呢?(稍顿)足球是一个体,球体。听得懂吗?它不是绕着固定点走出来的。它是怎么得到的呢?假如有个半圆,以半圆的直径为轴,整个半圆的面绕着轴旋转一周,就得到空间图形“球”。从这个“球”中也可以找到“圆”。怎么找呢?比方说西瓜,长得像足球那样,一刀切下去可以得到什么面?(学生插嘴:圆面)对,圆面,边上的一条曲线图形就是圆。

分析:教师如何浅显易懂地解读“圆”这一抽象概念,是本课教学的重点和难点。此课例对该问题的处理相当巧妙。它重在剖析“为何用圆规和绳子两种不同工具画出来的图形都是圆”这一问题,启发学生去概括“圆”的一般特点,理解“圆”的概念。具体地说,教师激发学生在反思画“圆”的发生过程中去感知,并从中抽象出“圆”的三大特点:两个点(固定点、运动点)、一条线(由无数个点构成的曲线)、距离(动点到定点之间的距离)不变。这些都为学生科学认识数学中的“圆”打下良好的基础,也为学生理解后续内容“半径有无数条,且长度相等”这一特性作了完美的铺垫。

更值得一提的是,在教师引导学生得出“足球不是圆”后,没想到有学生冷不丁地提出“球是什么东西”这一问题。显然,这是出乎教师意料之外的但的确是源自学生的问题。怎么办?要向眼前这群小学生解释清楚这个问题可不是一件容易的事,其中会涉及中学立体几何的知识内容,孩子能听得明白吗?到底要不要在课堂上作即时回应呢?稍作停顿后,教师没有避而不谈,而是急中生智,抓住时机动态生成,以特有的方式生动形象地解释了空间图形“球体”形成的原理。极其简短的一段话,不仅很好地解答了学生的疑惑,还让学生初步感知了“球”与“圆”的区别和联系。

【解读圆心、半径和直径】

师:这个圆大,那个圆小,圆的大小与圆的什么有关?

生(齐):半径。

师:看这一点,我们把它叫作“圆心”,通常用“O”表示。那么什么是“半径”?

生1:从圆心到圆边一点的线段。

师:圆边?这个点到底在圆的什么位置,圆外?圆内?什么是圆,曲线是由无数个点组成的,所以这个点就在圆上。我们把这句话写下来就是“从圆心到圆上一点的线段叫圆的半径”。(板书后,要求学生齐读)

师:从圆心到圆上一点,也就是说圆的半径只有一条?

生1:(插话)任意一点。

师:任意一点。那圆上有多少点?

生:(齐答)无数。

师:太好了。动点走过的是无数个点,这句话就应改成:从圆心到圆上任意一点的线段叫圆的半径(在板书中添上红色两字“任意”)。那么,一个圆的半径有多少条?

生(齐):无数条。

师:既然有无数条。那为什么只画这一条呢?

生2:因为圆心到圆上的距离都是一样的。

师:你怎么知道这无数条半径的长度都是一样的?有没有验证过?

生2:没有。

师:有没有办法验证?

生3:因为圆是用圆规画的。圆规的一个点是固定的,另一个点是始终固定长度画的,两个点之间的距离是不变的,所以半径不变。

师:聪明!什么是圆?圆是动点绕着定点旋转一周的图形。所以无数条半径长度都是相等的。(教师画一条圆的半径)这就是半径,通常用r表示。

师:什么是圆的“直径”?

生4:把圆上一点和它对面一点连起来就是直径。

生5:我有疑问。如果不经过圆心怎么能画出直径?(两位学生争执起来,教师鼓励生4向生5解释)

生4:圆的直径就是从这边半径到那边半径的合并。

生5:(针锋相对)你刚才说从圆上一点到圆上另一个点,没说经过圆心,也没说什么合并。

生4:(显得有些着急)圆的直径就是圆的垂直线段。从这头到那头的垂直线段就是直径。

师:垂直线段?我也晕了。你的意思是像这样斜的就不是直径了,对吗?

生4:也是直径。

师:好,请看这个图。圆上一点(A),对面一点(B),这也是对面,对吗?

生4:不是,对面那点指的是经过圆心的那个点。

生5:(插话)可是刚才你没说要经过圆心。

师:(对着生4)那你现在能说什么是直径了吗?

生4:直径就是经过圆心的两条半径的合并。(师生笑)

师:经过圆心,直径是线段,也有两个端点。两个端点在哪?我明白大家的意思。我们可以这样来表达:通过圆心且两端都在圆上的线段叫作圆的直径,直径通常用d表示(板书)。

(让生齐读后,师再读一遍,强调概念中含有两层意思:通过圆心、两端都在圆上。)

分析:此对话环节中,教师处处设疑激疑,引导学生利用已有的认知经验,通过相互论辩来明晰什么是圆的半径、什么是圆的直径,以及圆有哪些特点,鼓励学生用精准的数学语言来表达“半径”和“直径”这两个抽象概念。整个教学过程立足于学生的认知起点,洋溢着动态生成的精彩,跃动着学生思维的火花,充满着教师教学的智慧。

从“圆边”到“圆上”,从“圆上一点”到“圆上任意一点”,从“有无数条半径”到“为何只画一条半径”,从“无数条半径相等”到“怎么验证”,如此这些,层层递进,步步追问,直至学生真正明白“什么是半径”以及“圆的半径有无数条且全部相等”这一特性。在这个教学过程中,蕴藏着精准的数学语言,充盈着严密的逻辑推理,弥散着浓浓的“数学味”。

在解读“什么是直径”时,基于学生的思维起点,教师乘势追问,一段极其精彩的学生辩论把课堂气氛推至高潮。通过学生思维火花的相互碰撞,师生之间的等高对话,学生彻底理解了“直径”这一抽象概念中所含的“通过圆心”和“两个端点都在圆上”这两个特点。也恰恰是在学生似懂非懂、想表达却又语无伦次的时候,教师适时提供了精确的直径和半径的概念表述,以化解学生思维和表达上的障碍,使之茅塞顿开,自然地达到了“不愤不启,不悱不发”的教学境界。

【运用中体验圆与半径、圆心的关系】

师:现在要求在这张正方形纸上画一个最大的圆,怎么画?(学生画后,教师展示学生的两个作品)

师:这个是最大的圆吗?(教师指着学生作品投影1)不是,画到纸外面去了。这个是最大的圆吗?(教师指着学生作品投影2)也不是,这边上怎么还空着呢?想想看,画最大圆的关键在哪?可以讨论一下。

(学生同桌讨论后,展开交流)

生1:圆的直径应该等于正方形的边长。

生2:我认为圆的半径是正方形边长的一半。

生1:他说的和我说的一样。

师:一样,那你还说什么呢?(向着生2)不过你说的也有道理。因为画圆时圆规两脚分开的距离就是圆的半径,所以你在想要画最大圆,半径应等于正方形边长的一半。对吧?

(生2点头)

师:圆的大小与半径是有关系的。在最大圆中,以正方形边长的一半作为圆的半径,还需要什么因素?

生3:把圆规针尖放在正方形的中心点。

师:怎么找中心点?我刚才看到有同学在估测,显得误差大。这个是正方形,能不能利用正方形的特点来找呢?

生4:能。先把正方形对折一下,再对折一下,这个交点就是正方形的中心点(边折边说)。

师:很好。还可以怎么找?

生5:连接正方形的四个点,两条对角线的交点就是中心点。

师:我明白了。(借助PPT动态演示找中心点的过程)这就是圆心。有了圆心和半径,就可以画出一个最大的圆。(媒体演示画最大圆的过程,要求每个学生自行操作一遍)

分析:在此对话环节中,教师通过“如何在正方形纸上画最大的圆”这一情境问题(数学任务)的探索与解决,让学生再次体验“圆”与“圆心”及“半径”之间的关系,从中学会如何寻找圆心并确定圆的半径,感知“圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小”这一圆的特性。

在这个教学片断中,教师机智地处理了有向开放、交互反馈和动态生成三者的关系。具体表现为:一是依据课堂教学实际需求对教学预设进行灵活应变,立足于预设又融入教学机制,使教师的“教”为学生的有效学习服务;二是在教学活动中引发师生间、学生间的多向互动,促进学生多种感官的全方位参与,寻找教与学之间的内在规律;三是随机动态生成而非盲目随意生成,围绕课堂教学目标有序展开生成性的教学活动,并以特有的方式解释了预设与生成之间的辩证关系。

这一环节也让我们再次真切地感受到:走进教室前的学生对新知识并非一无所知,站在讲台上的教师也并非是知识的绝对权威。课堂上有关“教什么,怎么教,为什么这样教”三个问题的设计并非源自教师固有的经验或“神圣的”教参说明,而是应以学生、学情、学习活动为基点。为此,生成教学的关键是教师要了解学生,理解学生,相信学生,感受学生。要理解学生已有的经验是什么,要理解学生原有的认知起点在哪里,要理解学生的思考感悟力有多强,要理解学生的情感体验和认同感有多深。唯有如此,教师才能更敏锐地捕捉学生的活跃思维,并激发学生在数学思维火花的碰撞过程中实现数学知识的自我建构。只有基于学情的教学才是有逻辑起点的教学,只有以学习活动为基点的教学才是有活力的教学,只有“教服务于学”的课堂才是有生命力的课堂。基于学情,以学习活动为基点,开展高质量的数学课堂教学对话,这是本课例执教教师的出彩之处。在多元对话中,激发学生学会数学地思维,这也正是小学数学课堂教学对话的真谛。

【拓展与延伸】

师:圆与正方形有什么不同?为什么汽车的车轮要用圆的,不用方的呢?这些问题,请同学们课后去思考。(全课结束)

分析:最后环节是对本课教学内容的拓展与延伸,让学生带着问题走出课堂,启发学生去思考“为什么车轮是圆的而不是方的”这一现实生活问题,再次感受“圆”在日常现实生活中的功用,体悟“数学源于现实生活,回归并应用于现实生活”的价值。