导数在研究函数中的应用

第九节　导数在研究函数中的应用^[9]——基于学生数学探究的一节复习课

2008年4月25日，浙江师范大学“百人千场”送教下乡活动在浙江省丽水市遂昌中学举行。此次活动特邀浙江省杭州学军中学郑日锋老师执教“导数在研究函数中的应用”（人民教育出版社出版的A版选修1—1）。这是一节针对文科学生的复习课，如何上好这节复习课呢？执教者研读教材后，尝试以教材110页复习题：“已知函数f（x）＝x（x－c）²在x＝2处有极大值，求c的值。”中的函数f（x）＝x（x－c）²为载体，取c＝2，让学生探究其单调性、极值与最值，然后通过变式教学，自然而然引申出一个个问题，引导学生完成“导数在研究函数中的应用”的复习。即基于学生的数学探究，完成了学生数学知识的归纳与梳理。

一、教学过程简录

（一）基本问题：再现知识，夯实双基

师：牛顿、莱布尼兹创立了微积分，导数作为微积分的重要组成部分，进入了中学教材，有了导数这个工具，使我们研究函数如虎添翼。这节课我们从一个基本问题出发，来一次利用导数研究函数的探究之旅。请看下面的问题：

问题1　已知函数f（x）＝x³－4x²＋4x，

（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）的极值。

生1：（板演）（1）f（x）的单调递增区间为（－∞，），（2，＋∞），单调递减区间为（，2）；（2）当x＝时，f（x）有极大值，当x＝2时，f（x）有极小值0。（过程略）

师：你能根据已经解决的两个问题，画出f（x）的大致图像吗？

生（众）：能。

师：请画出f（x）的大致图像。（一名学生到黑板上画）

师：请大家对这位同学画的图与屏幕上几何画板画的图3-9-1作一比较。（对学生画的图的评价略）

图3-9-1

师：从f（x）的图像看，f（x）在R上有无最大值、最小值？

生2：由于f（x）的图像无最高点、最低点，所以f（x）在R上无最大值、最小值。

师：很好。如果将定义域限制在闭区间上呢？

生3：f（x）在闭区间上必有最大值、最小值。

师：为什么？

生3：f（x）是可导函数，在闭区间上连续，所以必有最大值、最小值。

师：不错，这位同学的基本功很扎实。现在请同学们解决问题2。

问题2　求函数f（x）＝x³－4x²＋4x，x∈［0，］的最大值与最小值。

生4：（板演）在问题1的基础上，列表如下：

所以f（x）_min＝0，f（x）_max＝。

生3：利用f（x）的图像可以直接求出f（x）的最大值与最小值。

师：太棒了！学生4从数的角度解决了问题2，学生3从形的角度解决了问题2。

师：问题1与问题2说明利用导数可以研究函数的哪些性质？如何研究？

生（众）：其一，求函数的单调区间；其二，求函数的极值；其三，求函数的最值。（方法从略）

师：这三类函数问题是利用导数要研究的主要问题，刚才同学们归纳得相当不错，表明大家对导数的应用有了较深刻的认识。下面我们将问题1、2进行变式，首先将f（x）的解析式中的一次项系数改为a，f（x）就成为含参数的函数了，得到如下的变式1，请同学们思考。

（二）变式练习：知识迁移，触类旁通

变式1　已知函数f（x）＝x³－4x²＋ax在（1，2）上为减函数，在（2，＋∞）上为增函数，求实数a的值。

生5：f′（x）＝3x²－8x＋a，由已知，x＝2是f（x）的极小值点，所以f′（2）＝0，得a＝4．

师：这样做有没有缺陷？

生3：还要检验，不过经过检验是符合的。

师：很好。如果去掉“在（2，＋∞）上为增函数”这一条件，结论如何呢？

生（众）：（经过思考、讨论）由已知，f′（x）＝3x²－8x＋a＜0对1＜x＜2恒成立，所以解得a≤4。

师：我们暂时把这个问题搁置一下。我们来研究函数y＝－x³在R上的单调性与其导函数的关系。

生：函数y＝－x³在R上是减函数，y′＝－3x²≤0。

师：回头看前面的解法有无问题？

生1：有点小问题。应该是f′（x）＝3x²－8x＋a≤0对1＜x＜2恒成立，下同。

生2：我还有一种方法。由前种解法，得a≤－3x²＋8x对1＜x＜2恒成立，而当1＜x＜2时，－3x²＋8x＞4，所以a≤4。

师：已知含参数的函数在某区间上是增（减）函数，求参数的范围问题。通常利用“若f（x）是非常数函数，且为可导函数，则f（x）在某区间I上是增（减）函数⇔在某区间I上恒有f′（x）≥0（≤0）”，转化为含参数的不等式恒成立问题。学生1利用了二次函数的图像的性质。学生2利用了参数分离法，都是常用方法。再来解决变式2。

变式2　已知函数f（x）＝x（x－c）²在x＝2处有极小值，求c的值。

生6：（板演）f′（x）＝（x－c）（3x－c）。令f′（x）＝0，得x＝c，或x＝。由已知，c＞0，c＞。x＝c是函数f（x）的极小值点，所以c＝2。

师：变式2是问题1第（2）小题的逆向问题：已知含参数的函数的极值点，求参数问题。请同学们归纳解决的策略。

生7：利用“可导函数f（x）在点x₀处有极值的必要条件是f′（x₀）＝0”得到关于参数的方程，解出方程的根，再检验。

师：完全正确，再来解决变式3。

变式3　设函数f（x）＝x3－4x2＋4x，是否有“对任意x1，x2∈［0，］，不等式｜f（x₁）－f（x₂）｜＜恒成立”。请说明理由。

生3：由问题2知，f（x）在［0］上的最大值为，最小值为0，所以对任意x₁，x₂∈［0］，恒有｜f（x₁）－f（x₂）｜≤

师：这种方法你是怎么想到的？

生3：从f（x）的图像得到启发。

师：讲得很在理。函数图像是研究函数不可或缺的工具，在今后可别忘了它的作用！变式3实际上是证明某区间上任意两个函数值的差的绝对值小于某正常数，我们的策略是转化为证明最大值与最小值的差小于此正常数，当然有一个前提是——

生（众）：在此区间上f（x）有最大值与最小值。

生1：我的想法是将f（x₁）＝－4＋4x₁，f（x₂）＝－4＋4x₂代入，行吗？

师：这位同学爱动脑筋，这种方法请课后去探讨。现在请同学们编一个题目，就叫变式4吧。

（三）编题练习：提升能力，发展思维

生4：我编的题目是：（变式4）已知函数f（x）＝x³－4x²＋4x的图像与直线y＝a有相异的三个公共点，求实数a的取值范围。改为有相异的两个公共点呢？改为有一个公共点呢？

师：你们觉得这位同学编的问题如何？

生：很有创意！

师：同学们还可以编出其他许多问题，请课后继续研究。现在请同学们解决这个问题。（变式4）

生：由图像可得当0＜a＜时，函数f（x）＝x³－4x²＋4x的图像与直线y＝a有相异的三个公共点；当a＝0或a＝时，有相异的两个公共点；当a＜0或a＞时有一个公共点。

师：学生4编的题是方程的根的个数问题，可以归结为函数的极值问题，同学们既能编题，也能解题，体现了较高的数学素质。现在请同学们谈谈学习这节课的感受。

（四）体验过程：完善学生认知，发展学生能力

生4：想不到我也会编题。

生2：许多利用导数研究函数的问题可以归结为三类基本问题：求单调区间、求极值与求最值。

……

师：请同学们将这节课从知识到方法作出归纳与总结。（略）

二、点评

传统的数学复习课教学模式往往是知识归纳—例题讲解—反馈练习，一进入课堂就是数学知识（方法）归纳，把知识强塞给学生，学生对为什么要进行数学知识归纳感到茫然，似有被老师牵着鼻子走的感觉。本节课一开始呈现问题1与问题2，在解决问题时自然唤起学生对基础知识、基本技能、基本方法的回顾，充分体现“学数学就是做数学”的理念。然后，以学生的已有数学知识——利用导数能求出单调区间、极值、最值这一认知基础出发，通过问题的精巧设计，让学生在新的问题情境中，运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题，在问题的解决过程中获得新知。随着问题的逐渐深入，学生在一个个问题的解决中，逐渐体验到数学问题之间的紧密联系，从而进一步完善数学认知结构。学生在解决老师给出的这些有联系的问题的同时，受到了潜移默化的影响。当教师要求学生当一回小老师，也来编一道题时，同学们都跃跃欲试。变式4就是学生的重大“杰作”，如果我们长期坚持这样去做，学生的创造潜能一定会得到充分发展。

如果说数学新授课教学实现知识“从薄到厚”的话，那么数学复习课教学应实现“从厚到薄”。本节课紧紧抓住了利用导数研究函数的三类基本问题这一核心，变式1与变式2作为这三类问题的逆向问题。解决问题的思想方法与原问题一脉相承，变式3与变式4最终可以转化为这三类问题，真所谓“万变不离其宗”。事实上，在高中数学教学中，变式教学因其在培养学生数学技能和思维品质等方面的有效性和实用性而被广泛采用。在复习课教学中，通过一个有价值的基本问题，变换问题的条件、结论、逆向思维、变更设问方式，这样复习课就会变成学生数学探究的重要阵地。

当然，对于支教活动而言，由于教师对学生对象不熟悉，所以在教学设计时还要充分估计任教学生的认知水平，这样教学才会更有效。变式教学注重的是学生的思维发展，对学生的能力有较高的要求，因此在教学中要为学生搭建“脚手架”。如本节课在开始设计时变式1只有后面部分，后来调整为增加前面一问，起到承前启后与降低难度的作用。再如，对于基础较好的班级，还可以让学生探究如下的变式题：当k≤－1时，求证：不等式x（x－2）²≤k（x－1）＋1对x≤1恒成立。一方面，引导学生从形的角度去探索，可以利用几何画板进行动态演示，揭示问题的几何背景；另一方面，引导学生从数的角度去探索，把问题转化为函数的最值问题，进一步让学生感悟转化思想。