对数学学习活动的概括性引导

三、对数学学习活动的概括性引导

一方面，初中学生具有丰富的想象力和对事物的批判倾向，这使得学生在数学课堂上可能产生许多思维闪光点，也能对事物的合理性进行质疑；另一方面，由于受到知识水平与学习经验的限制，使得学生的数学概括与思维往往停留在表面和经验水平上，在推理过程中，使用经验推理多而使用逻辑推理少，使用假设检验推理更少。如在乘法公式的学习中，形式经常出现（a＋b）²＝a²＋b²的错误，这个错误不仅出现了公式的形成过程，而且往往延续到后来的公式应用中，其主要原因是从（ab）²＝a²b²哪里进行类比得到了这个结论，只用经验推理（经验类比）而没有进行逻辑证明。即使教师上课时再三强调，学生做作业时还会出现大量这种错误，原因是：学生解题时大量使用“模式识别”的策略从记忆库中直接提取答案，用经验推理进行判断而没有进行逻辑推理，形式的美观导致先入为主的经验的直接再现。

1．数学学习活动的概括性引导

数学学习活动的概括性引导的时机主要在学生某一片段学习任务完成，形成知识初步理解的时候、学生互相讨论交流小组汇报后和学生的思维出现闪光点的时候。这种引导的目的是总结学生的观点、利用学生在课堂中出现的新观念进行拓展性、反思性的思考，通过教师的画龙点睛式的概括引导提升学生对数学本质的认识，进一步发展学生的数学思维水平，或者引导学生进行进一步探究。例如在上面所说的完全平方公式的学习过程中，教师应引导学生首先对（a＋b）²的计算结果进行猜想，提出假设，然后引导学生进行假设检验，当出现（a＋b）²＝a²＋b²和（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²或其他的假设时，引导学生用具体的数代入进行检验，通过检验形成初步的判断，如果判断某一个结论正确，引导学生进一步用逻辑的方法加以证明；如果是错误的假设，引导学生举反例说明，并引导学生进行假设的修正，值到得到正确的结论，同时教师应说明（a＋b）²＝（a＋b）（a＋b）的本质意义。在课堂练习中安排专门的问题对这个公式进行辨别。

2．数学课堂中概括性引导的方法

（1）利用学生课堂中的思维偏差，在纠正中进行概括和提升引导。

课堂活动片段实录1：《三角形面积》复习课中的某一片段：

研究问题：如图，在Rt△ABC中，∠C是直角，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（不与A、C重合）。若EF把△ABC的周长两等分，△AEF的面积用y表示，求y关于x的函数式，并写出自变量x的取值范围。

图4－3－1

教师在提出这个问题大约1分钟后，随机请一个学生说出自己的思考过程：

生1：因为AC＝3，AE＝x，所以CE＝3－x，BC＝4……（下面无法继续）。

师：你准备用什么方法求出△AEF的面积y？

生1：教师想用y＝AE·AFsinA求面积。

师：你为什么这样想？

生1：因为AC、BC已知，可以求出∠A的三角形函数值，而AE是△AEF的边。

师：刚才这位同学想到求面积的一种方法，但由于求AF的困难而没有完成任务，谁能帮助他完成这个计划？

生2：设DF＝m，由m＋4＋3－x＝6得m＝x－1，从而AF＝5－（x－1）＝6－x，得到y＝x（6－x）·，即y＝－x²＋x，0＜x＜3。

师：很好，刚才这位同学完成了同学1的计划，那么还有其他意见吗？

此时生1举手了，他想到了利用AE＋AF＝6得到AF＝6－x，从而用更简便的方法求出了面积y。

师：刚才这两位同学用两种方法求出了△AEF的面积，请同学们参照这两位同学的思考，重新检查一下自己的解题过程。

当教师准备下面的教学活动时，学生3举手了，由于教师没有看到，学生3就自己站起来说，“老师，上面错了！”

师：哪里错了？

生3：如果x取0．5，那么6－x＝5．5，这不对。

师：（恍然大悟），这位同学思考问题非常仔细，能发现隐藏的错误，值得教师们学习，实际上斜边长只有5，所以AF＝5．5是不可能的。那么，请问，x的正确的取值范围是什么？

生3：（想了2分钟左右）1＜x＜3。

在这一活动片段中，当第一位学生解决问题没有完成时，教师没有简单地到此为止，而是询问和理解学生1的解决问题的计划，在肯定学生的计划基础上请其他同学帮助他完成计划，然后学生1在同学方法的启发下产生了解决问题的新方法，他是在认真审视同伴的解决问题的过程和反思自己起初思考后，换一种角度思考产生的新观念。更可贵的是同学3在评价解决问题过程中发现了教师没有发现的隐藏的错误（实际上复习用书错了），表现出在解决问题中的评价和批判意识。可惜的是，教师为了完成教学任务，没有让学生对错误的原因进行进一步的讨论，从中进行“函数关系必须考虑自变量取值范围”的概括性引导。

（2）当学生出现思维的闪光点时，教师可以通过引导思考与讨论，进行概括性引导。

如在用代入消元法解二元一次方程组的课堂实施过程中，当教师要求同学解方程组：

时，老师希望学生把x－y＝3转化为y＝x－3，再用代入法解决，但第一个回答问题的学生就产生了不同的想法：

把x－y＝3转化为x＝y－3，进一步转化为3x＝3y－9，代入方程（2）转化为一元一次方程解决问题。当学生出现了这种解法时，教师暴露出把握引导机会的准备不足：教师没有让这个学生进一步解释自己的解法，而是慌忙中用具体数代入检验x－y＝3与3x＝3y－9的等价性，而忘记了引导这个学生从等式性质角度分析其等价性，又把学生的思路拉回到自己的框架中。实际上，该学生应用整体代入的“换元”思想，是思维的闪光点，如果教师通过组织讨论解题过程的合理性，从中进行概括性的引导，不失时机地让学生体验数学中的“换元思想”，尽管这不是本课中研究的对象，但可以有效地提升发展学生数学思维的发展性教育价值。

（3）当学生的讨论交流结束时，教师在倾听学生的汇报中进行合理的概括性引导。

这种概括性引导的功能是，引导学生对数学信息加工过程和结果进行反思，从中总结出活动的程序性经验，提炼数学思想。如在用坐标表示平移和用坐标表示轴对称的教学过程中，当学生完成坐标规律的归纳后，教师应对发现规律的程序进行概括性的总结：“画图形——写坐标——找规律”，“形可以给教师们以直观的启示，数可以精确地刻画形的规律和本质”，使学生对数形结合的思想的体验得到升华。