人的纵线和横线，即垂直线和水平线，尽管我们很少意识到它，更谈不上给自己作出明确的解释，然而却是帮助我们观察和理解每一种形状的媒介者。我们在理解各种形状时，把一切东西与这两种方向联系起来，并且，尽管我们如何地处于无意识状态，也总会在思想上把这两种方向在我们外部，特别是在视野中勾画出来。我们在视觉上和思想上也重复显示出这样的情景，这样的情景一经出现，便会由此产生一个网的形状，它会按照我们关于观察到的事物形状之考虑的明晰与精确程度在我们的意识中表现出来。然而由于在形状中和在由形状和通过形状决定的东西中内部的精神活动多方面表现出来，并且对这种内部精神活动的认识属于人的使命，人通过这种精神活动能够达到对自己、对自己与周围环境的关系以及从而对存在与本质本身的认识，因此，这种发展不仅对于如何理解形状来说，而且特别是对于表现形状来说是人的教育中极为本质的东西，是人的教育与教学的极其重要的一部分。因为关于事物形状的意识随着关于直角关系的意识的上升而上升，所以，直角的东西的外部表现，对于受教育的人来说，是人及教学对象本身的本性中有助于对形状和形体理解和表现的一种最根本的发展手段。
现在，如果垂直线与水平线按各自方向等距离地重复表现，其结果便是按照完全同样大的四方形(同样大的正方形)构成的网格。这种作为媒介形状的四方形，给视觉面上的表现，特别是给实物的扩大与缩小的表现提供了极大的方便，这一点，更证明了在必要情况下应用四方形的重要性。作为观察和表现手段的三角形的应用；教学进程不久将表明，产生于正方形及直角四边形。在使用正方形的情况下，一条线的倾向度取决于这条线与支持这条线的正方形的边之间可测定的关系；在使用三角形的情况下，则直接取决于与三角形的垂直线之间可测定的关系。在教学中，在正方形与三角形两者均得到应用的同时，还应在这方面安排种种练习，然而三角形的使用要到以后力的发展的更高阶段上才能开始。
这方面教学的另一个必要的要求是，不仅应容易地表现被理解和表现的事物的形状，而且还应容易地消除它们。最适宜于确保做到这一点的是石板和石笔。因此，一块在表面上能够用来刻划直角的、按照同样大小的正方形构成的网格的石板是这方面教学的第一必要的要求。然而正方形的大小或相互之间有规则地平行的各线条之间相隔的距离，如教学的进程所表明的那样，也绝非无关紧要的。因为，如果各线间隔的距离太小，那么由这些间隔的距离决定的一切表现同样会显得太小；如果间隔的距离太大，那么被表现的东西对于这一年龄阶段上的学生通观事物的能力来说也显得太大、太宽。各线条之间的距离最好是四分之一英寸。在这种石板上，即有网格的板上，让学生练习明确地表现事物，练习理解事物形状的最基本的关系及由这种基本关系决定的大小比例关系，这是这方面教学的首要任务。
教程本身是与先前阐述的物体观察关连着的，因为在那里，特别是在刚才所探讨的关于物体空间表现的教学中，要求少年儿童学会识别单倍、双倍、三倍等等的长度。因此，这部分教学(它的应用还要在后面特别加以指出)是与前项考察和以前的事情关系着的，所以，正如已经说过的那样，在教学中不应有任何漏洞，不应有任何脱节和孤立的现象，而是，一切如生命本身那样，应当是一个通过内部的原因与结果活生生地结合起来的、内部联系着的整体。
教程按如下方式进行。
教师在一个网状正方形的刻有线条的一边引一条长度与该边长一致的垂直线。在他引这条线的同时说道：“我引一条垂直线。”画完这条线以后，他问学生：“我做了什么?”学生用教师在前面说的话回答道：“引了一条垂直线”。这时教师命令学生：“现在也请沿着石板上的线引出单倍长度的垂直线。”
当学生按教师的要求做了之后，并取得了教师的满意，教师继续问学生道：
“你做了什么?”
学生回答说：“我引了几条垂直线”。如果若干名学生同时开始上这堂课，而且进行情况良好，那么教师在检查了每个学生的作业以后，便向全体学生提出一个共同的问题：“你们做了什么?”学生则回答：“我们引了许多垂直线，”等等。
这些问与答的方式，由于如上面所介绍的多方面应用，因而在这一个教学内容上也经常被采用。因为人应当把被表现的东西提高为言语和思想，并把言语和思想提高为表现。因为从根本上说，只有这样，人才成其为真正的人。
现在教师在课上引一条正方形的两条边长的垂直线并说道：“我引一条垂直线。”并再次问道：
“我做了什么?”
学生：“引了一条垂直线。”
教师：“这条垂直线与以前的垂直线是相同的吗?”
学生：“不，它比以前的垂直线长一倍或者说相当于两倍长。”
教师：“这样的垂直线按其长度与以前的比较起来我们可以怎样称呼，在把两者区别时应该怎样称呼?”
学生：“两倍长的垂直线。”
教师：“以前画的垂直线相对于刚才画的垂直线，按其长度来说，我们必须如何加以称呼?”
学生：“单倍长的垂直线。”
教师：“请引一系列两倍长垂直线。”
当学生按教师的指示做了以后，教师像以前那样问学生：“你(或你们)做了什么?”学生则回答：“我(或我们)引了两倍长的垂直线，”等等。
同样地，教师还画三倍、四倍，乃至五倍长的垂直线，并总是让学生模仿着画同样的垂直线并通过言语加以表达。
在网格线上由学生自己引出线条，这样，学生的手的力量、理解力和表现力便会得到多方面的发展与加强，并且，这种力随着强度的增加而逐步达到被自由应用的程度。
由于事物之不同性质之间的比较比之同一性质之间的比较，对于理解和把握每一事物来说更为重要，所以现在教师把所有迄今画出来的长度各异的垂直线都顺次排列在石板上。教师在这样做的同时说道：
“我引一条单倍长、双倍长、三倍长、四倍长、五倍长的垂直线。”
教师：“我做了什么?”
学生如通常那样回答问话。
教师再次画五条不同长度的垂直线，同时总括起来说：“我并排引单倍至五倍长的垂直线。”
像往常一样，教师提问，学生回答。
教师：“现在你们也照样引单倍至五倍长的垂直线。
“你是否这样做了?你做了什么?”
在这部分教学中，长度的差别只限于一至五倍的范围，因为五以内已经包含了这一范围以外的一切数的差别，至少这些差别已经得到说明。严格地说，这些数的差别在三以内就已经得到说明，其中已经包含了偶数、奇数、基数、二乘数和三乘数。而所有这些关系，在数列一至五内差不多都已重复出现，因此对于这一表现目的来说已表现得足够清楚了，因为除此之外，六仅仅是一个三的两倍和二的三倍而已，而七在这一关系上与五是同等价值的。因此，这个和以后一切类似的表现练习只达到五为止。
在这样的各线条并列对比中，特别是在学生尚未具备足够的理解和表现能力时，教师可根据学生的需要，在表现方式上应用某些细微的差别。这就是说，五条线不管最初必须如何，可以只向下延长，就是说，它们的上端都在一条水平线上。或者，它们可以向上延长，以致它们的下端处于一条水平线上。或者它们正如这里所说的被逐步延长那样，现在也可以在两种情况下被逐步缩短，即从五倍长缩短到单倍长。这样的变更，在开始时，特别是在一个事物通过几个形状进行练习的情况下，为避免使学生感到厌倦，必须有效地加以利用，然而这种使用的方法始终应由进行试验的教师来支配。
与垂直线的练习完全相似，现在同样地进行关于水平线的练习。
以上线条的比较仅仅是相互分离而没有联系的，并且始终是一些就其位置来说同样性质的线条之间的比较，即垂直线与垂直线的比较，水平线与水平线的比较。下面比较重要的是以垂直线与水平线比较的方式进行表现，或者以相反的方式进行表现。为使比较尽可能地具有直观性和使人产生深刻的印象，必须使两种性质的线条在一个点上连结起来。
教师画着线条并说道：“我使同样长的、单倍长度的一条垂直线和一条水平线在一个点上连结起来。”
教师：“我做了什么?
“请按我做的那样同样地做一遍。
“你们做了什么?
“请在你们石板的整个长度系列上按我所做的那样做一遍。”
教师继续进行他的演示：“我使同样长的、各为双倍长度的一条垂直线和一条水平线在一个点上连结起来，”等等。各为三倍长、四倍长乃至五倍长的垂直线和水平线可以同样的方式进行演示。学生也按教师做的那样去做，并每一次把自己所做的用言语加以表达。
在这里同样还必须进行比较，为此，教师画着线条并说道：
“我总是在一个点上把始终是同样长的，各为单倍、双倍、三倍、四倍和五倍长度的一条垂直线与一条水平线连结起来，使它们组合在一起。”
学生以同样的方式说着和做着。
前面是关于不同长度的垂直线和水平线的比较，在这里也可拿朝着四个相异方向画的垂直线与水平线相互交接起来的线条组合进行比较，这就是
在上述这一个练习中，总是以同样长度的垂直线和水平线进行比较，现在同样地还必须把不同长度的垂直线与水平线进行相互比较。
首先是水平线相当于垂直线两倍的情况下的比较。
教师画着并说道：“我把一条垂直线与一条水平线在一个点上连结起来，水平线为两倍长于垂直线，垂直线为单倍长度，那么水平线是几倍长度?这是单倍长度之两倍。”(以双倍长度的说法代替单倍长度之两倍的说法，随着教学的继续发展而显得不适合了。)结果是：
如往常一样，学生照着教师的话说着，画着同样的线条，并用言语把表现出来的东西表达出来。
这样，垂直线常常与两倍于垂直线长度的水平线相互连结起来，当垂直线双倍长度时，水平线便是双重的两倍长。或者，当垂直线为三倍长度时，水平线便是双重的三倍长。或者，当垂直线为四倍长度时，水平线便是双重的四倍长。最后，当垂直线为五倍长度时，水平线便是双重的五倍长。这样，所有已经逐一表现过的线条，如以前那样，都组合起来再次加以比较。其次是水平线相当于垂直线三倍的情况下的比较。
以前引的水平线总是相当于垂直线的两倍长，而现在要引的水平线则是三倍于垂直线的长。这就是说，当垂直线为单倍长度时，水平线为三重的单倍长。当垂直线为双倍长度时，水平线为三重的双倍长度，等等，总之，水平线按照三重三倍长度、三重四倍长度、三重五倍长度的垂直线的规定而改变自己的长度。最后再把所有这些描写的产物相互组合在一起，而且正如从比较的目的本身所得出的必然结果那样，在这里，垂直线与垂直线之间始终相距网格中一个方格的三条边的长度，在水平线为双倍长度的情况下是相距一个方格的两条边的长度，而在水平线为四和五倍长度的情况下，正如以下的练习所要求的那样，始终相距一个方格的四和五条边的长度。与垂直线比较的水平线超出五倍长度的情况，前面已经说过，就不再使用了。
为达到更大的熟练程度，特别在把握事物的这些关系上，可以逆反的方向进行练习，正如前面拿水平线与垂直线比较那样，现在是把垂直线拿来与水平线比较。与前面相反，这里首先是引出水平线，然后是垂直线。在言语表达上也与这种逆反的成立顺序相一致，垂直线在这里被看作水平线的一个部分，正如以前水平线被看作垂直线的若干倍一样。这种差异性在这里绝非由于数的关系而具有重要意义，数在这里是完全可以忽略不计的，它之具有重要意义，仅仅是由于它的在线条表现中十分重要的成立方式。
在前面，水平线始终是垂直线的若干倍，或者说水平线是长于垂直线的，但现在也必须把垂直线画得长于水平线，或者说，水平线被表现为是垂直线的一个部分。
教师画着进行演示并说道：“我在一个点上把一条垂直线与一条水平线连结起来，水平线的长度相当于垂直线的一半，垂直线为双重的单倍长度，那么水平线的长度是多少?那就是说单倍长度。”其结果是：
现在，当垂直线为双重双倍长度时，水平线为双倍长度。当垂直线为双重三倍长度时，水平线为三倍长度。垂直线为双重四倍长度时，水平线为四倍长度。垂直线为双重五倍长度时，水平线为五倍长度。
在前面，水平线的长度是按照垂直线一半的长度引出来的，现在要引的水平线的长度是垂直线长度的三分之一，然后垂直线的长度是三重单倍、三重双倍、三重三倍、三重四倍和三重五倍。
在所引水平线为垂直线四分之一、五分之一的情况下，方法与此相同。
如果宁愿让画线的学生把垂直线看作水平线的若干倍，那么所产生的结果也是相反的。这就是说，在这种情况下，水平线是衡量的尺度，正如以前垂直线是衡量的尺度一样，而垂直线现在是被衡量的对象，正如以前水平线是被衡量的对象一样。这种颠倒关系的做法对于手和眼的发展往往是十分重要的。
这些练习会在学生中产生多方面的效果：对物体形状的观察和理解，眼与手在表现方面的发展，同一产物之不同方式表现的发展与巩固，眼睛与手在理解和表现各种形状时的完全一致与熟练。
在这一教学阶段上，迄今学生活动的产物是直角形的东西，其各条边或是相等的，而且每条边的长度从单倍迄止五倍，或者它们的边是不等的，并且或者是水平的边，边长范围为垂直的边长度的单倍至五倍，它们各自的长度为两倍、三倍、四倍和五倍，或者是垂直的边，边长范围为水平的边长度的单倍至五倍，各自的长度为二倍至五倍。
这些引出的线条，在相对的、空间上相互包含的位置上相互连结起来，便形成矩形，而且首先是正方形，正方形的表现与描写乃是教学之进一步发展的结果。
教师一面表现一面说道：“我画一个每条边为单倍长的正方形。”
与通常一样，学生跟着教师念，进行表现和线条的描写。
现在正方形作图的表现以两倍长度的正方形上升到每边五倍长度的正方形，最后再进行组合在一起的正方形的比较表现和作图。
现在是水平方向长的长方形的作图和表现，而且首先始终是长相当于宽的两倍，宽从单倍至五倍长度，即长由双重的单倍至双重五倍长度。
进而是长相当于宽的三倍、四倍、五倍的水平方向长的长方形，宽就个别来说从单倍至五倍长度。
与水平方向长的长方形的练习进行的方式相同，现在也进行垂直方向长的长方形的练习。
现在是水平方向长的长方形与垂直方向长的长方形在各种比例关系上的比较结合。这种结合可适应学生的发展阶段而扩大或缩小，这种练习方式也可见之于过去和今后的一切练习中。
迄今采用的练习主要地只要求使用眼睛，而眼前的练习要求同时使用眼睛和手，以后的练习则主要地只要求使用手。
紧接着的练习系列要按照刚才说明的顺序来表现正方形和矩形，并且在这里要再次表现水平方向长的长方形和垂直方向长的长方形，但同时也要描写横线(对角线)，或是右方的对角线，或是左方的对角线，或同时描写左右两方的对角线。这部分练习的目的是：明确地把握各条线的倾向并加以精确的表现。
对于现实中存在的线条或对于在画线表现上具有足够强大的外部力量的视觉面上表现的线条之长度和倾向的精确把握和确定的表现，还可以通过以下的练习求得发展。前面的练习是通过所有各种正方形和矩形(水平方向长的长方形和垂直方向长的长方形)实现的，现在把这些长方形再度组合起来进行比较，而且是，把一切用来比较的矩形的一个角集中在一个点上，并且被比较的各矩形的两边始终相互叠合。现在从所有的矩形所共有的这个顶角引出对角线进行比较。从这些对角线的作图和比较观察中，通过这些对角线相互之间及与它们所属的矩形的比较，便会产生如下的一般的感觉：
斜线除一种场合外，就整个来说，或更接近于水平线，或更接近于垂直线；
直角的一条短边愈益包含在另一条边之中，斜线便愈益接近于两条直线之中的一条，或者，直角两边中的一边与另一边相比越短，斜线的倾斜度便越小；
因此，斜线的倾斜度取决于两条直线或可以说斜线的支持线之间的关系；
在现有情况下，较短的直线或者说斜线的支持线的长度为较长的直线或者说较长的支持线的或1/2，或1/3，或1/4，或1/5。
通过对这些关系的认识，现在也可以把斜线的倾向或者说倾斜度确定为二分之一倾斜、三分之一倾斜、四分之一倾斜和五分之一倾斜。在斜线中，又可区分横卧的与直立的两种，接近于水平线的称横卧的斜线，接近于垂直线的称直立的斜线。两条直线之间不倾向于任何一条直线的，或者说在相同的两条支持线支持下的中间线，称完全倾斜的斜线。
正如为了理解线条的这些倾向而不可避免地需要精确和迅速地理解和巧妙地表现矩形的长和宽的关系一样，在这里，精确和迅速地理解及可靠地表现斜线的倾向或者说倾斜度以及长度，对于作图应用又是极其重要的。因此现在斜线的练习在不预先画出限定的四边形的情况下也能进行，而且，为了通过斜线自身来说明各种关系，必须对各种斜线进行练习，或是单倍长度的斜线(在直角之较短的边具有网格之一个方格的边大小的情况下)，或是双倍长度的斜线(在直角之较短的边具有方格的两条边大小的情况下)等等乃至五倍长度的斜线(在作为衡量标准的直角之较短的边或者说支持线具有网格之一个方格的五倍长度的情况下)。
在每个练习顺序终了时，再引出一至五倍长度的斜线进行相互比较，与开头关于直角的两条直线的练习做法相同。
完全倾斜线练习顺序是这样开始的：教师画着、演示着，同时说道：
“一条单倍长度的完全倾斜线。”
“我做了什么?”“请你们也这样做。”“请用言语加以表达。”
二至五倍长度完全倾斜线按同样的方式处理。
然后并列地引出一至五倍长度的完全倾斜线，或为右倾斜，即向右侧斜向引线，或为左倾斜，即向左侧斜向引线，而且在两种情况下都应朝着作图者相反方向和相对方向画线。对同一斜线不同产生方式的注意，首先是，关于这些斜线是朝着作图者相对方向还是相反方向引出来的这个问题的注意，随着这种练习的进行，在这里已经开始得到培养，尽管这种注意要在以后才能被完全重视和培养。
二分之一倾斜、三分之一倾斜、四分之一倾斜和五分之一倾斜的线条以及横卧和直立的斜线的练习方式完全相同。
上面进行的练习仅仅是把始终具有相同位置和倾向的斜线，特别是仅仅根据它们的大小和长度作相互比较，现在则要把具有不同倾向的斜线，而且首先是横卧的斜线，并且在这里首先又是单倍的，然后是双倍至五倍长度的斜线作相互比较。然后是直立的斜线，在这里仍然是最初为单倍长的斜线，进而直到五倍长度的斜线。
继之是把纵向和横向的斜线同时作相互比较，并与直角的两条直线和一条完全倾斜的斜线作比较，而且在这里又是最初朝着一方，然后是朝着两方，最后是朝着四方作比较，每条线最后为五倍长度。这种练习产生的最终结果是：从一个中心点朝着各个方向放射形发展的、具有迄今练习中出现的倾斜度和倾向度的各为五倍长度的斜线。
这里是从一个中心点引出放射形散发出来的一切斜线，现在为了整体的完满起见必须使这些斜线朝着一个中心点相互会合。
通过以上安排的全部练习，学生应当能够熟练地在网格面上画出持相向和相反走向的、具有练习过的各种倾向和位置的每一种直线和斜线。在这些预备练习中，学生根据一定的外部规律引出各种线条，从而，他们关于线条的理解和表现在活生生的统一中得到了发展。至此，这些预备练习即告终了。
以上最后产生的两个结果，即通过把以前一切练习总括与组合并在自身中加以表现而区别于以往任何一种练习的放射的和包含的两种方式，也通过自身表达了以上一切练习的终结。与这种表现的终结概括在学生眼前进行的同时，教师联系着提出自己的问题。
教师：“你们的这些作图表现与以往的比较是否使你们得到另一种不同的印象?”
学生：“是的。”
教师：“不同点在哪里?”
学生在回答时，不管回答的方式如何，却总是归结到以下几点上，并在以下几点上达到一致，这就是：在上述两种表现中，一切线条都从各方面与一个中心发生关系；这个起制约作用的中心点把相对来说具有相同倾向的、相互之间长度不同、然而相对来说长度相同的诸线条统一起来；因此，这些线条能够表现一个独立的整体。这时，教师给这个整体起名为图形。几个学生也将会紧接着说，最后从中心向外和从外边向中心的或围绕中心引出的线条之不同于以前诸线条之处是，它们表现了一个图形。这时教师向学生说明一个整体，即一个图形的特点与本质，在这个整体里，相对地同等的各成分，在这里即各线段，从一个可见的(如在放射形中)或不可见的(如在包含形中)中心出发形成一个统一体，就是说，各线条必然地相互之间均齐地结合起来。关于一个整体、即这里所说的图形这个概念，可从上述最后两个结果加以多方面的观察和证明，并为了达到内部的和言语上的充分明确，应加以多次反复的讲述。
现在，画线的教学要从这一点出发进入一个完全新的阶段，这个阶段的教学同时也标志着学生发展的一个新阶段，即从以前练习过的各个种类的线条出发，或者从受网格上的规定所制约的各种线条的结合出发，进入自由表现线的整体的阶段——开始了发明图形的阶段。所谓发明就是指内部的东西在外部和通过外部的自由表现，这种表现虽然是根据外部提供的条件来实现的，然而却是带着学生容易自己认识的必然性从内部发生的。
关于图形发明的教程的介绍留待关于学生期下一阶段的叙述来解决，同样地，一般地说对真正的人的形成施以多方面强烈影响的这个画线表现的教学过程之本质的叙述，必须留待关于整个图画教学的叙述终了时解决。关于这一教学过程的作用和本质，只有那种不仅能把该教学过程应用于他人身上和与他人一起应用，而且特别是也能把它应用于自己身上的人，才能作出确切的评价，这一点，在明确地以力量和生命的唤醒、表现灵巧和可靠性的培养为目的的一般的教学中同样如此。对于自己掌握这样的教学过程来说，至少对于自我发展和发展他人的要求的最基本点来说，上述几点提示也就足以解决问题了，特别是对于遵循着这样的教学过程自己一步一步地实行和表现，从而在自身中发现该教学过程无声地起制约作用的简单法则的人来说是这样。
这样一种教学的运用，将会填补我们的乡村和城市学校的最大缺陷之一，因而它是任何一所学校都不可缺少的，这一事实，对于每一个从事切实研究和富有洞察力的人来说是十分清楚的，因为这样的教学在同等程度上要求感官发生作用和通过感官要求思考力发生作用，也就是说要求学生的精神力量发生作用，并通过手的熟巧要求学生外部的、身体的力量发生作用，这样便排除了一部分学生中极为有害的厌倦情绪和怠惰现象及由此产生的不良后果，而这部分学生对于教师来说恰恰是目前所未能注意到的。这对于学校来说是最基本的。但除此之外，这样一种教学的作用还在于，可以说作为生活的补充，为了认识事物的形状和匀称性而促使眼睛发达，为了表现事物的形状和匀称性而使手得到修练。难道在什么地方的人生中还有一种不需要把眼和手作为基本的东西来使用的人的关系和活动吗?现时在我们的国民中，尤其在手工业者和农民中，在理解和表现事物形状和匀称性方面的发展上的缺陷所带来的严重弊端，已从多方面并足够深切地为人们所感受到。
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