古罗马人阿基米德

第九章　古希腊数学——阿基米德

欧几里得之后古希腊第二个伟大的数学家是阿基米德。

阿基米德被公认为是牛顿以前最伟大的科学家，也是整个西方历史上最伟大的数学家之一。他有多重身份：数学家、物理学家、发明家等，每一身份在古希腊乃至整个古代西方世界都是顶尖儿的。我们完全可以在数学与物理学两个领域大讲他的生平，不过他毕竟在数学上做的研究更多一点，贡献也大一点，我们还是主要在这里说他吧！

—传奇人生—

阿基米德的生与死都称得上是一部传奇。

与古希腊其他数学家甚至名人相比，我们对阿基米德的生平事迹要知道得多得多，也比较准确，主要是因为各处有关他的说法都大体一致。例如古罗马史学家李维和普卢塔克都对他的生平有所记录，特别是一位叫策策斯的12世纪的历史学家明确地说：“智者阿基米德是叙拉古人，著名的机械制造师，终生研究几何，活到75岁。”

据说早年，可能是公元前265年左右，阿基米德曾去埃及的亚历山大城学习，欧几里得一度在那里当老师，只是阿基米德到那里时大师已经死了，阿基米德的老师乃是大师的弟子，因此他是欧几里得的再传弟子。

在亚历山大，除学习当时最先进的科学知识外，阿基米德的另一个重大收获是结交了许多好朋友，如萨摩斯的科伦、多西修斯、厄拉多塞等，他们后来都成了数学家，即使在离开亚历山大后，阿基米德仍经常与他们通信，他的作品大都是以与他们通信的形式发表的。

阿基米德家在叙拉古有相当高的社会地位，而且与当时的叙拉古王希伦二世可能是亲戚，至少是朋友，两人来往十分密切。

在叙拉古阿基米德全心全意地从事科学研究。他所做的事很多，归结起来有两大类，第一类是科学发明，第二类是科学研究。他发明的东西很多，大都非常实用，甚至发挥了重要作用。例如他发明了阿基米德螺旋泵，这种泵能够将船舱中的水排出去。到现在都被广泛用于污水处理厂。它最大的特色是能够将水排出去的同时不会因为水中有杂质而阻塞。他还制造了许多天文仪器，有星球仪，也有能够演示太阳、行星、月亮等运动的仪器装置，后来这些仪器还被带到了罗马。不过阿基米德发明得最多的还是武器，这我们等会再说。

阿基米德生平有三件有名的轶事：一是“我发现了！”；二是“给我一个支点，我就可以撬动整个地球！”；三是叙拉古保卫战。

我们先讲第一件。有一次，叙拉古王希伦二世因为王位坐得很得意，决定建造一个华贵的神龛，在里头装上一顶纯金的王冠，作为感谢神恩的祭品。他找了一个金匠，把黄金交给了他，请他来打造王冠。金匠拿到黄金后，如期打好了王冠，交给了国王。国王看到王冠打造得极为精致美丽，十分高兴，打算好好奖赏打造它的匠人。可这时，有知道内情的人来告密说，金匠在打造金冠时捣了鬼，偷了一部分金子，而将等重的银子掺进了王冠的内里。

国王一听，十分愤怒，但金匠矢口否认，国王又不能将已打造好的金冠拆开。怎么办呢？他想到了阿基米德，于是找了他来，问能不能找个两全其美的法子：既能判定里头有没有掺银子，又不拆开做好的金冠。

阿基米德一时被难住了，说要先回去想想。从此这个难题充满了他整个的脑子，叫他日思夜想，但始终不得其解。

一天，他去公共澡堂洗澡，在古罗马时代，公共澡堂是人们的生活重心之一，远不是现在仅供洗澡的样子。

在澡堂子里，阿基米德洗啊洗，心里仍在想着金冠的事。他躺在浴池里，水因为他身体的沉浮不断高低起伏，排出池外。突然，阿基米德仿佛受到猛地一击，不由醍醐灌顶、恍然大悟。

阿基米德悟到了什么呢？当然是悟到了如何判定金冠有没有掺假的妙法。他的想法是这样的：同等体积下，金子比银子重；同等重量下，金子的体积则比银子的体积小。现在金冠里头如果杂有银子的话，那么它的体积肯定比同等重量的纯金大。这时，如果将金冠放到水里，它排出的水的体积肯定比一堆同等重量的纯金放到水里排出的水的体积大。反之，如果没有掺杂银子，两者排出去的水的体积就会一样大。难题就这样迎刃而解了。

阿基米德的发现就是现在物理学里面的“阿基米德原理”，也就是浮力定理。

第二件事是一句豪言壮语：“给我一个支点，我就可以撬动整个地球！”

为什么阿基米德这样吹牛呢？大家都知道杠杆的原理，它可以用小小的力撬起大大的东西。而且如果有一个可靠的支点而且杠杆也足够长的话，它能够撬起的东西在理论上来说是可以无限重的。

这杠杆的原理正是阿基米德发现的，他把这个发现告诉了希伦二世，并且说，杠杆能够轻松地撬起任何重量的物体，如果给他合适的支点与足够长的杠杆，他连地球都撬得起呢！希伦二世对他的话将信将疑。为了证明自己所言非虚，阿基米德便要国王从他的船队中选了一艘大的、有三根桅杆的货船，据说是国王为埃及的托勒密王特造的，体积巨大，下水时几乎动员了所有的叙拉古男子来拖它。现在阿基米德在安装好了他的一组滑轮后，竟然能够由他一个人轻而易举地将大船拉上岸来，国王也能拖得动。顿时觉得自己成了大力士的国王高兴极了，大声向臣民们宣布：“以后凡是阿基米德的话我们都要信。”

是不是真的有了一根足够长的杠杆之后，我们就能够撬起地球呢？当然不。有人计算过，如果要用60公斤力来举起质量约达6×10²⁴公斤的地球，哪怕只举高毫米，所需的杠杆长度也将达10¹³公里以上。这有多远呢？这样说吧，即使您像百米冲刺般地一天冲刺24小时，也要花30000年以上才能跑完这段距离。

阿基米德生平的最后一个事迹是用自己的科学天才保卫家乡叙拉古，抵抗罗马人。

公元前264年，爆发了第一次布匿战争，即迦太基人和罗马人之间的战争，后来又有第二次和第三次布匿战争，我们这里要说的是第二次布匿战争。

这次战争中的英雄是汉尼拔，迦太基人的年轻统帅。公元前218年，年仅26岁的他率大军翻越白雪皑皑的阿尔卑斯山，杀入罗马人的老巢意大利。从此他在这片土地上纵横15年，这是西方军事史上最辉煌、也最悲壮的时期之一。

在意大利，汉尼拔几乎每战必捷，其中最有名的是“特拉西米诺湖之战”和“坎尼战役”。在这两场战役中汉尼拔取得了西方军事史上最伟大的胜利之一。特别是在坎尼战争中，八万罗马大军几乎被全歼，执政官包路斯战死，只有瓦罗等少数几个人逃掉。汉尼拔军死伤仅仅六千。

如此辉煌的胜利震惊了整个意大利，一些本来与意大利同盟的大城，如卡普亚和叙拉古，投向了汉尼拔一边。罗马已处于被毁灭的边缘。然而汉尼拔接下来犯了两个错误：一是没有乘胜向罗马城发动总攻，毁灭罗马。二是没有全力援助受到罗马人猛攻的盟邦。后来的事实证明第二个是更为致命的错误。

认识到与汉尼拔硬拼只有送死的份后，罗马人采取了两手策略：一方面将罗马所有17岁以上的男子征入军队；另一方面再也不与汉尼拔军正面作战，而是加紧瓦解汉尼拔的反罗马同盟。方法是残酷报复那些与汉尼拔结盟的城市。首先是卡普亚，卡普亚忙向汉尼拔求援，在这种情况下，汉尼拔理当尽全力支援卡普亚，并且乘机与罗马军再决一战，消灭其有生力量。但不知为何，汉尼拔竟然只是向罗马城进行了一次虚张声势的进攻，这当然不能救卡普亚人。不久，卡普亚被罗马攻克，整座城市遭到毁灭。

在攻打卡普亚的同时，罗马人还向汉尼拔的另一个主要盟友叙拉古发动了进攻。

这也就是阿基米德参加的叙拉古保卫战，发生在公元前213年。

罗马人这次来的目的是要毁灭叙拉古，面对祖国的生死存亡，阿基米德立即行动起来，参加了战斗。

当然，以他70余岁的高龄是不能亲自披铠甲上战场的，但他起的作用远比一个士兵为大。

这次罗马人的统帅是马塞卢斯，他率军从海陆两地向叙拉古发动了猛攻。

叙拉古人的势力远不如罗马人，但他们仍奋起抵抗。有钱的出钱，有力的出力，有点子的出点子。阿基米德属于第三种。他用自己的天才设计了许多十分厉害的守城武器。例如他发明了一种大概类似于现在我们所用的起重机的设备，从城墙上伸出去，将罗马人的战舰抓起来，吊得高高的，再狠狠地摔下去，将之摔得粉碎。为了对抗这起重机，罗马人想出了一个方法：他们将两艘大战舰锁在一起，这样就不动了。但是，阿基米德早有准备，他发明了一种抛石机，能够将巨大的石头抛出老远。因此，当罗马人的连锁战舰攻过来时，叙拉古城里突然飞出来一阵石雨，巨大的石头将罗马人的战舰打得千疮百孔、七零八落。阿基米德后来甚至发明了一种巨大的反光镜，能够像现在的放大镜一样将太阳光聚焦，再反射到罗马人的战舰上，让它们起火燃烧。

如此，罗马人怎么能够攻下城池呢？罗马士兵们简直成了惊弓之鸟，一走近叙拉古的城墙就害怕，害怕里边会突然冒出来什么厉害武器。据说他们只要看到城里扔出来哪怕是一根绳子，也会吓得抱头鼠窜，惊呼：“阿基米德又来了！”据普卢塔克的《马塞卢斯传》中记载，毫无办法的马塞卢斯嘲笑他那些无用的工程师说：

“我们还能同这个懂几何的‘百手巨人’打下去吗？他轻松地坐在海边，把我们的船只像掷钱币似地抛来抛去，舰队被弄得一塌糊涂，还射出那么多的飞弹，比神话里的百手妖怪还厉害。”

那怎么办呢？罗马人终于想出了一个计策：只围不攻。将叙拉古城从海上与陆上重重包围，围个铁桶似的。

要知道叙拉古只是一座孤城，里头粮草甚至饮水都有限，在罗马人的围困之下，不久城内人心思变，后来有人打开了城门，放罗马人蜂拥入城，叙拉古失陷了。

阿基米德呢，他给杀了。关于他的死有不下10种说法。例如当罗马人冲入他的宅子时，他说：“请让我做完这个试验！”但罗马士兵没有听他的话，一剑砍下了他的头。二是罗马人攻上来时他正在海边的沙滩上沉思，他在地上画了些公式与图形。一个罗马士兵向他冲来，要他走开，但阿基米德拒绝了，罗马士兵毫不客气地一剑砍下了老科学家白发苍苍的头，众说纷纭，反正是被杀死了。

—也许是最伟大的数学家—

既然阿基米德被杀死了，我们且不再说他，来看看他的思想。

作为伟大的数学家，阿基米德留下的数学著作不下10种，基本上是希腊文手稿，也有拉丁文的译稿。现在的标准本是《阿基米德全集，包括阿基米德的〈方法〉》。其中《方法》是最新发现的珍贵手稿。它是1906年时一位丹麦哲学教授从土耳其首都伊斯坦布尔，即过去的君士坦丁堡，在一卷已经写上了基督教经文的羊皮纸上发现的。

在《方法》里，阿基米德着重阐述了如何求图形的面积与体积的问题。具体的做法是先将它们分成许许多多的小量，再用另一组微小量与之形成比较，使之形成某种相似与平衡，再用求后一组微小量——它通常是比前一组要容易求的方法来计算前面所欲求的面积或者体积等。看得出来，这种方法颇像我们前面在讲什么是积分时所用的求曲边形面积的方法，也是先将之分成许多小长方形，然后计算其面积之和。因此，阿基米德的《方法》中实际上已经包括了微积分特别是积分的思想。这比牛顿或者莱布尼茨发明微积分要早上两千来年呢！此外，在另一部著作《论锥曲面体与球体》里，当讨论如何确定由圆、椭圆、抛物线、双曲线等绕其中轴旋转而形成的几何体的体积时，阿基米德也同样采用了类似于积分的方法。

阿基米德的第二部重要著作是《论球与圆柱》。

阿基米德对于后面这个结论十分满意，简直有些得意了，这对一向谦逊的他颇不常见。他甚至留下了指示，要在他的墓碑上画一个这样的球体及其外切圆柱的几何图形作为墓志铭。

那么阿基米德被罗马人杀死后有没有人来实现他的遗言，给他树块这样的碑呢？

树了。对于阿基米德之死，马塞卢斯也深感遗憾，他惩罚了那个竟敢杀死伟大的阿基米德的士兵，安葬了科学家的遗体，并按照阿基米德的遗言，在坟前树立了一块这样的墓碑。直到100年后，伟大的罗马演说家和学者西塞罗还在叙拉古的荒野之中找到了这座已经湮没在萋萋荒草丛中的墓，上面刻有球和圆柱的墓碑依然在目。

阿基米德的第三部重要著作是《圆的测定》。

除了这几部，阿基米德的著作还有许多，包括许多不朽的物理学著作，但我们这里就不多说了。

总之，阿基米德是整个西方数学史上最伟大的数学家之一，早在古罗马时期，伟大的古罗马自然学者普林尼就称阿基米德为“数学之神”。有人认为他的地位甚至要高于牛顿，就像一位叫贝尔的数学史家所言，任何一张列出有史以来最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯。不过若就他们的影响之于当代及后世的深远程度来说，三人中最伟大者当推阿基米德。