影响至今的欧氏几何

欧氏几何是欧几里德几何学的简称，创始人是公元前3世纪的古希腊数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。

这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广且使用时间最长的书，后又被译成多种文字，多达2000多种版本。它的问世，是数学发展史上极具深远意义的大事，也是人类文明史上的里程碑。2000多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今没有被动摇。

欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部著作共13卷，465个命题，其中有8卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。

《几何原本》的意义却绝不限于内容的重要，或者对定理出色的证明，真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点、具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”即是。

在一个数学理论系统中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题，然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而，在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。

作为完成公理化结构的最早典范，用现代标准来衡量，《几何原本》在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。比如，一个公理系统都有若干原始概念或称不定义概念(点、线、面就属于这一类)。欧几里德对这些都做了定义，但定义本身含混不清。另外，其公理系统也不完备，许多证明不得不借助于直观来完成。此外，个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的《几何基础》出版时才得到了完善。

由于欧式几何具有鲜明的直观性及与严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它已成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了伟大的贡献。