例谈教材的使用

例谈教材的使用

韩映顺

至今年6月，我已经历了新课程一个周期（三年）的教学，算是有了一个较为完整的过程。下面就高中数学前八个模块的人教版教材（A版）（理科必修+必选2004年版）（下称教材）使用过程中遇到的困难、当时解决的办法等选几个点回过头来谈几点思考（教材每年一版，至今已有4版，但除了习题做减法外，其他变化不大）。

一、讲背景、体现认知规律既要贯彻教材意图又要根据学情谨慎取舍

教材的大多数章节都设计了具有时代特征和实际意义的问题情景，让学生感受“数学是有用的”，内容的呈现方式大都遵从从特殊到一般的认知规律，揭示数学发生发展的过程，这是教材的一大亮点。课堂教学一定要站在贯彻新课程理念的高度，联系学生实际和内容特点，围绕教学重点，悉心体会作者意图，处理好这些背景材料，使情景设计为数学本质服务。既不可轻言舍弃，也不能顾了引子，重了方式，忘了重点。

例1：函数模型及其应用（必修1，1.3.2）

假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案?

当时觉得题目中包含了三个函数（列），最后还得数列求和，作为章头起点问题似乎太大太杂，入手困难，感到非常困惑，本来就是难点为什么起点还要搞得如此复杂？不能用简单问题替换吗？甚至埋怨教材。怕学生因无法接受而产生怯“应用”的毛病（本节的例2与例1相似），就把这两个例题放到了本章的最后，让学生阅读，转而先解决“观察”栏中不等式log₂x＜2^x＜x²log₂x＜x²＜2^x解集，“探究”栏中y＝x²和y＝log₂x的增长情况，急于概括“基本初等函数是反映不同增长率的数学模型”，进而解决本节例3至例6等几个相对简单的问题。结果怕什么来什么，由于学生没有形成应用体验，留下了后遗症。在后来见了阅读量大、变量多的应用题就害怕，就不知道如何下手，只能是老师干着急。过后看来，当时的做法不妥，至少存在以下问题：

（1）丢弃了学“有用的数学”。

（2）丢弃了学习“数学建模”这个章节的核心、第一要务。

（3）丢弃了对“信息收集、提炼、处理、表达、交流”的机会。

（4）丢弃了对“函数是描述客观世界中变量关系的基本数学模型”,“直线上升、对数增长、指数爆炸”的过程式学习的体验活动,而这几点正是课标所特别要求的,放弃这两个例题就放弃了教学重点。

本学期在新高一，我们在这一节的处理上，就严格按照教材设计的例题次序，让学生阅读题目以后，逐个思考解决以下问题：

（1）问题涉及几个方案？方案中各有哪几个变量？

（2）方案中各变量是如何联系的？是函数关系吗？如果是，有解析式吗？定义域各是什么？

（3）通过观察表格，你能描述三种方案“回报资金”增长方式的差异吗？

（4）我们把三种方案“回报资金”增长方式描在同一个坐标系下，你觉得能说明3个问题吗？

（5）要解决题目中的问题，仅每天的“回报资金”能说明吗？还需要什么？

实践证明这两个集中展现“反映不同增长率”函数模型的例子，从问题入手，通过对三个简单函数模型的建立、比较，使学生对基本初等函数的特征有了进一步认识，对数学应用问题如何入手、如何转化、最终如何解决具有很好的示范性，正是本节课的重点。两个例子互为补充，因为有前面两章内容的铺垫，绝大多数学生都能较好接受，80％的学生在本题学习后，都能对数学建模——实际问题数学化的过程有较深体会，为后面4个例题学习的深入作好了准备。这也许正是教材的意图之所在。

当然有些情景和方式为了说明来龙去脉，归纳出一般规律，往往篇幅较长，加之所处的环境不同，经历不同，未见得适应我们的学生，教学时也要因地制宜、因材施教谨慎调整。

例2：等比数列前n项和（必修5，2.5）

本节课的教学重点当然是“错位相减法”和对公式的理解应用。课文以“假设利率不便（r=0.0624）的诺贝尔奖金问题”作为引例，计算量大，费时劳神，但对发现“错位相减法”意义不大。我在处理时设计了下面问题：

（1）设S¹＝4+4²+4³+…+4¹⁰，_问4S₁=_________，不用计算器谁能很快算出3S₁？

直接切入，进而让学生求一般的S_n＝a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁qⁿ。

因为有了两个具体例子的准备，大多数学生都能掌握“错位相减法”，而“诺贝尔奖金问题”成了很好的阅读材料。

例3：任意角三角函数（必修4，1.2.1）

教材在单位圆下给出了定义，可能是基于从特殊到一般的要求，可能是考虑到单位圆的重要性，也可能基于从简原则，觉得一般性使问题复杂化了，能简单就简单，能特殊就特殊。但我还是沿用了传统定义即终边上任取一点的方法，因为觉得作为定义完整性应该更重要。

像这样的例子还很多，这几个案例所涉及的问题需要我们不断地挖掘体会，过早的抱怨、不加思考就随意取舍是肤浅的；全部教条的照搬教材是不负责任的，也一定不符合编者的初衷。归根到底都是新课程理念不到位的表现。

二、讲过程方法要以落实知识技能为前提

新课程的三维目标核心在于过程与方法，但使学生掌握数学的基础知识与技能，无疑仍然是高中数学教育最重要的任务。没有知识与技能的落实，过程与方法就变成了没处落脚的空中楼阁。

随着时代的进步，基础知识与技能在不断更新，好些曾经的经典已经被拓宽的内容所代替（如指数方程和对数方程、指数不等式和对数不等式、反函数及其图象、解析几何对双曲线的要求，定比分点，立体几何中对距离的要求，三角有关内容等）。如果说旧课程重视运算和逻辑，则新课程就更加注重思想和方法，教学中必须弄清新的基础知识与技能要求。既不能对曾经拿手的东西不忍割舍，在技巧和运算上“深挖洞”，又必须在多点的知识技能上“广集粮”，要把数学教学落实在以训练知识技能为前提的过程方法中。

例4：简单的三角恒等变换（必修4,3.2）

在当初教研组活动上关于教材如何处理，老师们分歧很大，多数认为还是应该像旧教材一样，至少需5课时，即半角、积化和差、和差化积、辅助角公式、综合应用各一课时。但这显然与课标和教材相违背,怎么办？后来经过反复讨论,我们认识到：理解并应用整体思想、换元思想、化归思想等思想方法应该是这一节的重点。教学中要体现这些思想方法形成和应用过程，只要合理配置相应的例题和习题就行了，没有必要无限膨胀，什么都公式化，要理解“知识是循序渐进的”，正如不能像30年前搞因式分解那样，现在也不能在一些特殊的技巧上深挖，三角公式本身就具有互通性。最后我们把本节内容确定为3课时，即半角、积化和差、和差化积（前3个例题）1课时，重在体验换元法和整体思想；辅助角公式（后两个例题及对一般形式asinx+bcosx的探究）1课时，重在体验三角化归思想，综合应用1课时，并且我还增加了两个相关例题：

（2）求sin50°（1+tan10^O）的值。

再配以课后习题训练，学生动手体验这些思想方法，把数学思维方式的学习渗透于具体知识内容的演练中，还是较好地达到了预期目标。现在看来这样处理是比较合理的，就是高考也不会再有复杂的三角公式变换。

三、重生成体验要落实于思维活动中

现代建构认识论认为，每个不同个体对研究对象的领会程度是不同的。例如对“函数”，不同的学生因为体验不同而有不同的理解。数学教学活动就是要促使学生积极体验，内化并生成知识，在公共层面上“通得过”，达到形成共识所要求的水平低线。而要促使学生积极体验，关键在于活动。为此，教材中设计了“观察”、“思考”、“探究”等栏目，改变了以往陈述式的呈现方式。新课程课堂教学变化最大的地方就是各种活动的深入开展，而什么样的观察、思考、探究才是有效的？章建跃先生说主要看学生“思维的参与度”（2006年教材研讨会上的讲话）。这就要求我们在教学中不能把活动简单地停留在次数上——课堂上有多少学生回答了多少问题，做了多少次实验，相互交流了多少次——而应该强调活动的质量，促使个体对知识的生成体验，使活动落实在思维上。

例5：概率的意义（必修3，3.1.2）

本节课的重点在于理解概率的统计意义和逻辑意义，核心是概率的统计意义；培养统计素养和概率意识。

教材设计了包括概率的正确理解（掷硬币实验）、游戏中的公平性、决策中的概率思想、天气预报的概率解释、遗传机理中的统计规律等6个专题活动。这6个专题，是进行自主探究、合作学习、动手试验的好素材，但是，如果引导不当，只是停留在操作层面让学生热热闹闹掷硬币，就很难达到预期目的。为此，我在掷硬币实验中设计了以下问题：

（1）“质地均匀”的数学含义是什么？——概率相同

（2）你做的10次实验中正面向上的频率是多少？和同桌比较结果一样吗？谁的结果最小？谁的结果最大？差别最大值是多少？

（3）统计同组实验结果并计算正面向上的频率是多少？和其他组比较结果一样吗？差别最大值是多少？

（4）统计全班的实验结果并计算正面向上的频率是多少？这个实验中正面向上的频率有什么规律？

（5）假设如果把自世界上有硬币以来人类所有掷硬币的结果都统计在案，到今天为止还只是一个片段，我们还要子子孙孙做下去，这个频率的稳定值应该是多少?

（6）如果上面的稳定值是0.5，是否意味着我们做一次实验正面向上的概率是0.5？

（7）从另外的角度——逻辑上看，在“质地均匀”的条件下，掷一次硬币理论上正面向上的概率是0.5吗？为什么？

这个活动展示了“无限次独立重复实验结果的稳定值”——统计意义上的概率概念形成过程，并通过逻辑结果相印证，使学生在思想上对统计的原理和结果有了正确的认识，对学生“统计观”的建立起到了很好的作用。剩下的5个专题就留给学生自主探究，相互交流，并回答“思考”栏中的问题。这样做学生就会较好地生成知识，形成概率思想，而不会把学概率只当做是为了算概率，这样的活动才是有意义的。

例6：回归分析的基本思想及其初步应用（选修2～3，3.1）

由于参数多、关系复杂、课文篇幅长，这节内容的教学颇使师生头痛，如果只凭教师讲授根本完不成教学任务，必须要在教法上想办法。为此，我做了如下流程安排：

（1）阅读交流重点体验最小二乘法思想、线形关系与函数关系、经历实践理论实践的过程；了解a、b、a、b、x、y、x_i、y_i、x、y、r、R、e、eR²的意义；e体验的作用是发现异常点并对预报的精度进行判断，eR²的作用是解释预报变量的贡献率。

（2）总结归纳建立回归方程的方法

①确定解释变量与预报变量；

②画散点图；

③根据经验设立回归方程模型；

④将回归方程线形化；

⑤用最小二乘法的结果计算线形关系中的；

⑥转化成回归方程。

（3）理解并建立回归方程

①任何散点（不少于5个）都有散点图；

②选择不同路径可以得到不同回归方程；

③不同回归方程预报的精度不同。

这样在明确的目标引导下，边阅读边交流边体验边总结，活动的有效性得到了落实。

毋庸置疑，教材在“把数学当语言”来学，提倡“不同的人学不同的数学”，学“有用的数学”，改变“知识的呈现方式”，强调“数学本质”，强调“实验、过程和体验”等诸多方面，都给我们以全新的感受。很好地体现了新课程理念，代表了发展和进步。作为一线教师，我们应该加强学习，不断提高自身的专业素养和认知水平，跟上时代步伐。在教学实践中努力挖掘教材，体会编者意图，因材施教，加强交流和沟通，在教材建设中提出合理化的建议，尽我们绵薄之力也是我们义不容辞的责任。