三阶系统的时域响应

二阶以上的系统即为高阶系统，它们的瞬态响应比一阶系统和二阶系统复杂。三阶系统可视由三个一阶环节串联而成，或是由一个欠阻尼二阶环节串联一个一阶环节而成。相比较后者较复杂，当然前者也可以视为由一个非欠阻尼二阶环节与一个一阶环节串联而成。因此三阶系统可以表达成

如果0＜ζ＜1，则系统闭环极点

在单位阶跃函数作用下，输出为

拉氏反变换得三阶系统阶跃响应

式中：

其中β是实极点p3与共轭复极点的负实部之比，如图3-21（a）所示，它反映了两种极点在s平面上的相对位置，也是系统一阶部分和二阶部分响应曲线衰减系数之比。

式（36）表示三阶系统单位阶跃响应由三部分组成。第一项为对应于单位阶跃输入信号的稳态分量，第二、三项为瞬态分量。第二项为由二阶因子所引起频率为ωd、衰减系数为ζωn的阻尼振荡。因为βζ2（β－2）＋1＝ζ2（β－1）2＋（1－ζ2）＞0，三阶系统的单位阶跃响应比二阶系统多了一项由一阶因子引起的瞬态分量，即第三项衰减系数为1／T的指数衰减。

由式（36）还可看出系统响应和比值β有关。图3-21（b）所示为同一ζ值时不同β值对应的单位阶跃响应曲线。

图3-21 三阶系统极点分布和单位阶跃响应曲线

（a）极点分布； （b）单位阶跃响应（ωn＝1／s，ζ＝0．5）

根据图示曲线和式（36）可得出：

（1）在二阶系统上附加一个实数极点（0＜β＜∞）将使原来二阶系统的单位阶跃响应的超调量减小，上升时间、峰值时间增加，响应变慢。

（2）当β＞1，即1／T＞ζωn时，实数极点p3距离虚轴远，而共轭复数极点p1，2距离虚轴近，这时系统的特性主要决定于p1，2，更多地呈现二阶系统特性。当β→∞时，系统即为ζ＝0．5时的二阶系统响应曲线。

（3）当β＜1，即1／T＜ζωn时，实数极点p3距离虚轴近，这时系统的特性主要决定于p3，更多地呈现一阶系统的特性。