电路的响应

5.2.1　零输入响应

如果电路中没有外加输入，即外施激励为零时，仅有储能元件原来储存的能量，在电路中产生的电压和电流，称为电路的零输入响应。RC电路的零输入响应是由电容储存电场能量引起的。

如图5.2.1所示是RC串联电路，当开关S与点1接通时，使电容C经电阻R充电到uC＝U0，设在计时起点（t＝0），把开关S突然投向点2，则电容C经电阻R放电。此时，电路中的输入信号为零，称为零输入。因为电路中的响应电压和电流不是由外加输入引起的，而是由初始条件uC（0＋）引起的，所以属于零输入响应。

图5.2.1　RC串联电路零输入响应

根据基尔霍夫电压定律，列出换路后（t≥0）电路的电压方程为

因为

所以

这是一个一阶线性齐次常微分方程。其解为

式中：u′C称为特解，u″C称为通解，u′C常取稳态值，称为稳态分量，它等于t＝∞时的值，即

而u″C属于过渡过程中出现的，称为自由分量或暂态分量，即

式中：p是特征方程式的根，可以由式（5.2.1）的特征方程求得，即

特征根为

式中：τ＝RC，单位为ΩF＝ΩC／V＝ΩAs／V＝s，与时间同量纲，称为时间常数。因此

式中：积分常数A需由初始条件确定。由于开关S是在t＝0瞬间突然投入点2的，因此，电容上的电压uC（0－）＝U0，由换路定律可知，电容电压不能突变，即

将此值代入式（5.2.3），可得A＝U0，所以微分方程的解为

这就是RC电路零输入响应电压uC，其响应电流为

由uC和iC的表达式可见，响应电压和电流是按指数规律变化的，图5.2.1（b）画出了uC和iC随时间变化的曲线，由图可见，uC和iC分别由初始值U0和－U0／R逐渐衰减且趋于零。

图5.2.2　例5.2.1的图

【例5.2.1】　如图5.2.2所示电路中，开关S闭合很久，当t＝0时，开关S突然断开，求响应电压uC。

【解】　在S闭合时，电容上的电压

t＝0时，S突然断开，RC电路无外加输入信号，所以是求零输入响应。根据换路定律，有

时间常数

所以

5.2.2　零状态响应

如图5.2.3（a）所示电路，开关S在t＝0时突然闭合，RC电路与直流电压US接通，如果电容C原来没有充电，即初始条件uC（0－）＝0，则RC电路处于零状态。这时，电路中的电压和电流是仅由外施激励引起的。这种响应，称为RC电路的零状态响应。

图5.2.3　RC电路的零状态响应和uC、iC的变化曲线

开关闭合后，由基尔霍夫电压定律，有

又因为

所以

这是一个一阶线性非齐次常微分方程，解为

由于电容上电压不能突变，因此uC的初始值为

代入式（5.2.4）得A＝－US。因此，响应电压uC和响应电流iC分别为

uC和iC随时间变化的曲线分别如图5.2.3（b）、（c）所示。由图可见，uC是由初始值0开始按指数规律增加，而iC则是由初始值US／R开始按指数规律衰减的。

【例5.2.2】　如图5.2.4（a）所示电路，开关S在t＝0时突然闭合。设S闭合前，电容C未充过电。试求：（1）电路的时间常数；（2）充电电流的最大值；（3）响应电压uC和电流iC。

【解】　如图5.2.4（a）中，a、b两端子的左侧是一个有源一端口网络，首先将其化简，得其等效电路如图5.2.4（b）所示。

图5.2.4　例5.2.2的图

（1）电路的时间常数。

τ＝R0C＝0.75×103×20×10－6s＝15ms

（2）因为开关S合上瞬间，uC＝0，所以充电电流为最大值，即

（3）响应电压。

电流

5.2.3　全响应

如果RC电路处于非零初始状态，且同时受到外施激励情况下，那么，电路的响应称为RC电路的全响应。如图5.2.5所示的电路，开关S处于位置a时，uC充电到U0。当t＝0时，将开关S改接到位置b，RC电路与U0断开，同时接通激励源US。此种情况下，求电路的电压和电流是求电路的全响应。

图5.2.5　RC电路的全响应

开关S转接到位置b时，由基尔霍夫电压定律列出方程

解为

将初始条件uC（0＋）＝uC（0－）＝U0代入上式，得

所以

响应电流为

式（5.2.5）和式（5.2.6）可以分别改写为

式（5.2.7）和式（5.2.8）中，前一项是零状态响应，后一项是零输入响应。此两式表明

全响应＝零状态响应＋零输入响应

【例5.2.3】　在图5.2.5中，设U0＝6V，US＝10V，R＝4kΩ，C＝50μF。试求开关S换接到位置b算起，待t＝0.2s时，电容电压uC的值。

【解】　这是求RC电路的全响应。响应电压

uC＝US＋（U0－US）e－t／τ＝（10－4e－t／τ）V

由图5.2.5求得

τ＝RC＝4×103×50×10－6s＝0.2s

uC（0.2）＝（10－4e－0.2／0.2）V＝8.53V

思考与练习

5.2.1　对于同一个RC电路，用不同的电压源对它充电，问电容达到稳态值所需的时间是否相等？

5.2.2　电路如图5.2.6所示，电容初始状态未储能，且电容量较大，当开关S闭合时，灯泡的亮度将如何变化？

5.2.3　在如图5.2.7所示电路中，开关S闭合时电容器充电，S再打开时电容器放电，试分别求充电和放电的时间常数。

图5.2.6　题5.2.2的图

图5.2.7　题5.2.3的图